Введение в вычислительную физику - Федоренко Р.П.
ISBN 5-7417-0002-0
Скачать (прямая ссылка):
Здесь if — параметр семейства, А.(т, А, «схема»; if) —функция, зависящая от шагов х, А, параметра if и вида схемы.
Каждая схема характеризуется своей функцией Я( <р) (остальные аргументы (х, А, «схема») мы будем всегда иметь в виду, не выписывай их явно). Функция А.(<р) называется спектральной функцией схемы. Совокупность значений, пробегаемых точкой Х(<р) (в комплексной плоскости), когда if пробегает [0, 2л], называют спектром разностной схемы.
Введем формальные определения.
Разностную схему называют спектрально-устойчивой, если
где С — не зависящая от х постоянная. Другими словами, спектр устойчивой (по спектральному признаку) схемы должен лежать в Сх-расширении единичного круга.
Разностную схему называют спектрально-неустойчивой, если существуют q > 1 не зависит от т) и <р0 Є [0, 2л], такие, что
Это пока чисто формальные определения. Сейчас мы научимся вычислять спектр разностных схем, а затем выясним содержательный смысл введенных понятий. Он будет простым: спектрально-неустойчивые схемы не годятся для вычислений, расчеты по таким схемам сопровождаются катастрофическим нарастанием последствий погрешностей вычислений (т.е. погрешностей машинного представления чисел, округления и т.п.).
(1)
I А.(<р) | « I + Cx, V <р Є [0, 2л],
(2)
(3)
Примеры вычисления спектра. Рассмотрим примеры вычисления спектра для различных разностных схем с учетом вышеприведенных определений.
116 ОСНОВЫ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ (Ч. Ґ
Явная схема. Вычисление А.(<р) проводится просто: нужно решение Mm = Xneimif подставить в разностные уравнения. Для явной схемы имеем
уп+ \gitny __ уп^іту \пе1^т — 1 2ХПв1т^ 4-
_ 3= — ,
Сокращая на \пе‘т*, получаем
x-і __ е'ч-г+е** х h2
Используем соотношение e~tif — 2 + е1* = —4sin2(9/2). В результате спектральная функция явной схемы принимает вид
Х(ц>) = 1 - 4sin2
/
Легко видеть, что Х(<р) вещественна и
А.(л) = I — 4t//i2*S A.(tp) I = А-(О).
Итак, спектр есть отрезок (1 — 4т/A2, 1]. Условие устойчивости:
і
I-4TM2Ss-I, или х«А2/2.
Это есть условие Куранта, которое нам уже знакомо. Таким образом, явная схема для уравнения теплопроводности устойчива при выполнении условия Куранта (условно-устойчива).
Неявная схема. Проведем те же вычисления:
XVw-Pa-D e Jivmif3l е»-г + е~* т H2
После очевидных преобразований получаем M1P) = (l +4Tzsin2 2
hl
Очевидно, Ц<р) Є [0, 1], Vt, h. Неявная схема безусловно-устой-чива (по спектральному признаку). Этот факт (правда, с другим пока смыслом термина «устойчивость») нам уже известен.
Схема «крест» для волнового уравнения Utt = ихх. Схема имеет вид
СПЕКТРАЛЬНЫЙ ПРИЗНАК УСТОЙЧИВОСТИ
Н7
Подставляя U^1 = Xne,mf и сокращая на X" Vmf, получаем X2 — 2X4-1 л X ' 2 tP
---^----= -4^ sinI ?•
т.е. X есть решение квадратного характеристического уравнения
X2 — 2
1 — 2 sin2 ^ I X + 1 = 0.
h2 2I
Исследовать спектр можно, не решая уравнения. Заметим, что свободный член есть единица, т.е. X1X2 = 1. Здесь имеются две возможности:
а) если корни вещественны, то один корень меньше единицы, второй больше единицы, т.е. схема неустойчива;
б) если корни комплексно-сопряженные, ТО I X11 = I X21 = 1, т.е. схема устойчива.
Итак, схема устойчива, если корни комплексные, т.е. если отрицателен (при всех if) дискриминант
1 — 2 \ sin2 — I = 1 — 4 sin2 у + 4 sin4 I — 1 =
/,2 2 J h2 2 /,4 2
= 4 \ Sin2 -f (1T sin2 ^ — l). A2 2 [h2 2 J
Очевидно, что при всех (р Є [0, 2л] это выражение отрицательно только для т//і$ 1. Это и есть условие Куранта для схемы «крест».
Шахматная схема. Рассмотрим систему уравнений, описывающих распространение звука
ut + vX = 0’ vt + uX = О-
Поясним некоторые новые объекты. Прежде всего удобно ввести так называемую шахматную сетку, т.е. определить сеточные функции и и у в разных точках.
Итак, введем «целые» точки, или «-точки: tn = пх, хт = mh. В
этих точках определим и.\J1. Введем «полуцелые» точки, или v-точки:
tn+i/2 = (п + 1/2)х, хт+1/2= (т + 1/2)h. В этих точках определим
ит+У/2- такой сетке удобно аппроксимировать систему:
/.л+1 ,/» ,/»+1/2 ..л+1/2 .п +1/2 ,.п—1/2
m m і tn+1/2 m—1/2 л m+1/2 m+1/2 і m+1 m л
г-1- A “U’ T A
Обобщим конструкцию стандартного решения:
u *
J “m
Ln+1/2
I vm+l/2
чі UeimV I
^ уеі(т+1/2)ч>|’
118
ОСНОВЫ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ
где U, V — некоторые постоянные. Подставляя это решение в разностные уравнения, после сокращения на XnClnuf и по-
лучаем
1 — 1 — O-iVl2 - 1 — 1 , e‘W2_e-'>p/2
U±-± + v~------2Г-----------= 0, V — +UX----------?------= 0.
т п т h
Система (относительно U, V) имеет нетривиальное решение при
det
А=І 2 IstaI'
2HsinI V
0.
Это и есть уравнение, определяющее А.(<р):
h2 2
или
X2 — 2X^1 — 2 ^ sin2 +1=0.
Такое уравнение мы уже исследовали в связи со схемой «крест» для волнового уравнения, и ответ нам известен: схема устойчива при условии Куранта т ^ А.
Схема «ромб» для уравнения теплопроводности. Этот пример интересен тем, что он связан с поиском явных безусловно-устойчивых схем. Схема имеет вид
