Введение в вычислительную физику - Федоренко Р.П.
ISBN 5-7417-0002-0
Скачать (прямая ссылка):
I
Расчет начальных данных:
M0(m) = M0(WA), т = О, I.....М, t = tp = О
Реализация стандартного шага интегрирования:
(мі (т) - м0(т) + xf(t, mh) +
+ {м0(т — 1) — 2м0(т) + м0(т + 1)},
т= 1, 2, ..., M - 1
Досчет краевых значений: и1(0) = Ia1Ml(I) + + х)]/ (Ct1 + A^1),
ul (M) = [a2Ml (М - I) + Лг]>2(* + t))/(a2 + Ap2), f:= t + т, = tp + т
tP- > р? > Да »- Печать (t, и 1) I t
«Снос»: м0(т) = «1 (т), т = 0, 1,..., Л/
I
ґ > п --------- Да --------*- Конец.
I
Нет
J
104
ОСНОВЫ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ
[Ч.І
(т=1,2,...,М). Это уже знакомая нам система уравнений с трехдиагональной матрицей (матрицей Якоби). Она может быть решена методом прогонки с затратой O(M) операций.
Реализация неявной разностной схемы отличается одним новым моментом: стандартный шаг, переход от известного п-го слоя к (п + 1)-му, требует решения системы (обычно высокого порядка M =* X/h) линейных алгебраических уравнений со специфической матрицей. Для решения используется специальный алгоритм. Это характерная черта современных методов решения уравнений с частными производными. В них большую роль играют именно неявные схемы (аппроксимация пространственных производных «на верхнем слое»), и в связи с этим возникают проблемы решения «уравнений на верхнем слое». Причины, побуждающие выносить аппроксимацию пространственных производных «на верхний слой» будут обсуждены чуть позже.
Обобщения на нелинейные задачи. Характерной особенностью метода сеток является легкость перехода к гораздо более сложным задачам. Правда, речь идет о формальной операции, и не надо эту легкость понимать слишком уж буквально. Пусть нужно решать гораздо более сложную нелинейную задачу:
е теми же самыми начальными и краевыми условиями.
Есть простой способ справляться с нелинейным характером уравнений, аппроксимируя нелинейные зависимости на нижнем слое:
Все функции, в которые и входит нелинейно, вычисляются по нижнему «-му слою, т.е. при реализации шага они вычисляются через уже известные значения w?,. В этом случае схема решения нелинейного уравнения теплопроводности ничем в сущности не отличается от явной схемы решения линейного уравнения.
Tочно так же можно записать и неявную схему с нелинейностью на нижнем слое:
c(t, X, и) = ^к(*, х, и) I^j + f(t, X, и)
X
In
т
с,
tn
где
'т
I *т + 1/2
h
и счет реализуется так же, как и в линейном случае.
§11] ИНТЕГРИРОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ 105
Итак, переход к нелинейным задачам почти ничего не стоит. Так ли это? Действительно ли все так просто или есть какие-то скрытые от поверхностного взгляда сложности? Ответ, который можно дать уже здесь, такой: если нелинейный характер уравнений не порождает в решении каких-то особенностей, сложного характера функций, больших градиентов, высокочастотных осцилляций и т.п., то, как правило, решение нелинейных уравнений методом конечных разностей немногим сложнее решения линейных.
Таким образом, не нелинейность сама по себе, а связанные с ней возможные нарушения гладкости искомого решения u(t, х) (их может и не быть) осложняют фактическое решение нелинейных задач. Этим разъяснением мы пока и ограничимся.
Нелинейные уравнения на верхнем слое. В некоторых ситуациях приходится часть нелинейных зависимостей «выносить на верхний слой». Тогда возникают проблемы решения нелинейных уравнений (с большим числом неизвестных) на верхнем слое. В этом случае методы типа прогонки комбинируются с итерационными методами решения нелинейных уравнений. Как это делается, покажем на самом простом уравнении, в котором нелинейность входит только в правую часть.
Пусть решается стандартная краевая задача для уравнения
Ut = uXX+ f(U)
и по каким-то причинам используется неявная нелинейная схема
un+l — un un+l — 2un+l + un+l V_____uJn _ “m+l lUm m —I , f ( n+ Ц
T д2 ~J\um )•
Здесь, как видим, система уравнений для неизвестных u"+1 нелинейная. Решается она методом итераций с линеаризацией по Ньютону. Обозначим i-е приближение к искомому м^+1 через и^.
Рассмотрим стандартную ситуацию: известны ип и т.е. і
итераций проделано. Надо найти (m = 0, 1, ..., М). Линеари-
зуем выражение /(и(‘+1>), т.е. заменим его на
/(*4? + (um + l) *- «т )) * / (и^) + /и{и{т) («й+0 “ Wm)‘
Теперь для определения мы имеем уже линейную систему:
„('+1)_ил u(‘+i)_2i/‘+1,W‘+1>
~=——S- + /<“2) + /.(«Si») «2+‘> - /„(и®)»™.
106 ОСНОВЫ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ [Ч. I
Иногда используют более простую (но менее эффективную и надежную) схему простых итераций (см. § 1), основанную на принципе «нелинейность с предыдущей итерацией»:
т т __ т — I m m+1 j f
* нг
Эти уравнения по своей структуре не отличаются от обычных уравнений на верхнем слое в неявной схеме. Существенным фактором, облегчающим решение нелинейных уравнений, является наличие хорошего начального приближения. В качестве такового естественно взять = а" (т =¦ 0, 1, ..., М): за малое время т решение
u(t, де) меняется мало, значит, и ип мало отличается от ы"+1. Для таких итерационных процессов часто доказываются теоремы о сходимости при достаточно малом шаге т.
