Введение в вычислительную физику - Федоренко Р.П.
ISBN 5-7417-0002-0
Скачать (прямая ссылка):
П/П = max \f(t, х)|, ||м|| =max |м(ї, х)| и т.д.
t, X t, X
Введем аналогичные нормы для сеточных функций:
IJmsII = max | ипт|, Цм"Ц == max |м" J и т.д.
щ, п т
Основой для установления устойчивости является следующая лемма.
Лемма 1. Нормы сеточных функций м" и м"+1 связаны между собой неравенством
IlMnII <? max {||мп|| + тЦ/ll, ||г|>||}, ||ф|| s max {|| VPiII- Il Wfoll)»
если выполнено условие Куранта ||х||т/Л2 1/2 (мы ограничимся
случаем Pi > 0; в случае P = 0, а = І оценки проще).
¦ Доказательство. Имеем соотношение
-Її K+mW+i - и») - х» _1/2(и» - и» _,)] + Pm,
или
U^1 = f2 Х«_1/2М« + |1 - і Х«_Ш - і Х»+1/2] И» +
T
+ ^**+1Лит + 1 + х/«* т=1,2, ...,М-1.
Отсюда следует (так как | мЦ,| ||м"||, х > 0)
K+1I ^>С-1/2ІКІІ + ^>с»+ш||«»|| +
IlMnII + -*11/11-
Условие Куранта дает важное соотношение
1 (Хт-1/2+<+1/2>
— I — ^2 (кт-1/2 + Кт + 1/г)>
и мы получаем
|М"+М ^ IImbII+ t||/||, т = 1, 2, ..., M — 1. Заметим, что
||мп+1|| = {либо max |«JJ,+1|> либо |м{|+1|, либо |ы^+1|}.
m = l..M-I
/
110 ОСНОВЫ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ [Ч. I
В первом случае имеем
\\ип+1\\ < IIunII + т||/||.
Во втором случае используем краевое условие:
(a, + hp,)u"+l = ам?+1 + Aitf+1, ар P1 > 0.
Если ||un+1|| = I Mg+11, то
I Mf+1I « IiiS+jI, (O1 + Ap1XMg+1I =S Gt1K+1I + *W+1I.
т.е.
11«П+,И-K+1I « W+VPI с 1Ы|.
Такую же оценку мы получим и в случае ||м"+1|| = |ид*+1|- Итак, либо ||ип+1|| ||Ч»11. либо ||мл+1|| < IlMnH + т||/||. В любом случае
IlMn+i|| sSmax {||ми|| + тЦ/ll, Цу>Ц}.
Теперь докажем следующую теорему.
Теорема 1. Явная линейная разностная схема при выполнении условия Куранта ||к||т/А2 *S 1/2 устойчива по начальным данным, краевым условиям и правым частям.
Доказательство. Используем лемму 1 рекуррентно, обозначая ради простоты Un as ||м"||, / s ||/|| и т.д.:
un *S max {и"-1 + xf, гр} ^
^ max {max [м"_2 + xf, -ф] + xf, \р} =
= max {un~2 + Ixf, + xf} $
$ max {max [un~3 + xf, \p] + 2 xf, -ф + xf] =
= max {un~3 + 3xf, + 2xf} <
*Smax {m° + nxf, -ф + (n — l)t/}.
Так как nx =S T, получаем результат
IlMnIHIlM0IKriIZir+ (14*11-Обозначая ||.FS|| = ||м°|| + ГЦ/Ц + ||г|>||, запишем оценку в форме
IimsIHIIZ1sII, т.е. IILs-1ML
Мы установили оценку нормы решения разностной задачи через нормы начальных данных, правых частей и краевых условий. Это еще
§ 11] ИНТЕГРИРОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ 111
не совсем то, что нужно. Нам нужно установить, что при малых возмущениях начальных данных, правых частей и краевых условий решение изменится соответственно мало. Ho это следует из линейности задачи (как известно, ограниченность и непрерывность для линейных операторов — это одно и то же).
Воспроизведем это рассуждение. Если Lsus = Fs, LsUs = Fs + т]5,
то в силу линейности LS(US — us) = Tjs из ограниченности LJ1 получаем К Us — MsII sS 11% ||. Таким образом, для линейных разностных задач устойчивость есть равномерная (по всем сеткам) ограниченность обратного оператора.
Устойчивость неявной схемы. Покажем, что неявная схема дает разностную задачу безусловно-устойчивую, т.е. для ее устойчивости не требуется выполнения условия Куранта. Ограничимся доказательством следующей леммы.
Лемма 2. При любых шагах h, х, нормы сеточных функций
ип и un+l связаны неравенством
||ііп+1|| «шах {Цм"|| + x\\f\\, ||г|>||}.
Доказательство. Имеем альтернативу:
||м"+1|| = {либо Imq+1I1 либо \ип+1\, либо max |м"+1|}.
m*=l..Af-I
В двух первых случаях, как было установлено выше, ||мп+1|| =S ||Ч>||. Нужно исследовать третий случай. Для неявной схемы имеем
un+l
т
[ип+1\
* + hl (Km-1/2 + Хт+ід)
= 'К + «2, + J <-1/2 *С+-1 + J X»+1/2
Пусть т — внутренняя точка, для которой ||и"+1|| = | mJJ,+1|. Тогда
1 + ^г(Кт-1/2 + Кт + 1/г)
« IKII + ХІІ/ІІ + ^«_1/2||м" + 1|| + к”+1/2||М'яли , после сокращения,
Цил+1|| =S Им"|| + т||/||.
На этом мы закончим исследование устойчивости неявной схемы. Еще раз подчеркнем, что она носит безусловный характер: схема всегда устойчива. В этом ее отличие и решающее преимущество перед явной схемой, счет по которой возможен лишь при
„п+и
112 ОСНОВЫ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ / [Ч. I
/
х < 0.5А2/||и||. В других задачах, как мы увидим, тоже появляется это характерное условие: явные схемы устойчивы лишь при некоторых ограничениях на шаг по времени х: он должен быть достаточно малым относительно шага по пространству А. Переход Kj1 неявным схемам, как правило, либо снимает условие устойчивости?, либо существенно его ослабляет.
Возникает естественный вопрос: действительно ли условие Куранта существенно для явной схемы (ведь оно было необходимо для проведения достаточно простых оценок) или, может быть, оно связано с грубостью оценок, а не с существом дела? Оказывается, условие Куранта носит принципиальный характер, его нарушение делает результаты расчета совершенно бессмысленными.
Покажем это на простом примере (который, кстати, иллюстрирует возможный экспериментальный прием исследования устойчивости разностной схемы: он состоит в фактическом вычислении последствий «единичной погрешности в начальных данных»). Если в качестве начальных данных взять = 0, то решение будет нулевым (мы не учитываем здесь краевых условий, считая, что задача решается на бесконечном интервале: —<» SwS <х>).
