Введение в вычислительную физику - Федоренко Р.П.
ISBN 5-7417-0002-0
Скачать (прямая ссылка):
[Ч. 1
ксимации решения исходной задачи (сформулированной, например, в терминах дифференциальных уравнений) должно быть гладким. С этой точки зрения ббльшая часть пространства сеточных функций является в некотором смысле лишней. Высокая размерность пространства сеточных функций (M = IO2 -f- IO3) — своеобразная плата за обеспечение точности разностных аппроксимаций на существенно более бедном подпространстве гладких сеточных функций; только оно и представляет интерес с точки зрения вычислителя.
При решении разностного уравнения мы сталкиваемся со следующей ситуацией. Если решение является гладкой функцией, оно аппроксимирует решение того дифференциального уравнения, которое аппроксимирует разностное. Если решение является негладкой функцией, оно не имеет никакого отношения к решению дифференциальной задачи. Это общий факт как для устойчивых, так и для неустойчивых схем. Разница между ними в том, что такие бессмысленные решения в неустойчивых схемах растут с катастрофической скоростью, а в устойчивых остаются ограниченными.
Конечно, в реальном расчете присутствуют обе компоненты, но если в начальных данных, правых частях разностных уравнений (к ним в процессе решения «добавляются» и погрешности машинной арифметики) негладкие компоненты малы, то их наличие не оказывает существенного влияния на решение устойчивой схемы. Решение же, полученное по неустойчивой схеме, через несколько шагов по п оказывается полностью бессмысленным. Приведенные качественные рассуждения объясняют, в частности, тот важный для практики факт, что внешним проявлением неустойчивости является появление в численном решении высокочастотной (негладкой) компоненты с быстро нарастающей с ростом п амплитудой.
Другое практическое следствие — приближенный, ориентировочный анализ спектра. Обычно при исследовании спектра схемы легко выписывается характеристическое уравнение для Я(<р), это чисто техническая выкладка. Ho если порядок такого уравнения высок (выше второго), оно не имеет удобного явного решения: «нарисовать» и проанализировать весь спектр Ц <р) оказывается не так-то просто. Иногда начинают с частных вопросов, например с исследования функции Цх, h; (р) при «критических» значениях <р = л, л/2, ..., при которых особенно сильно проявляется неустойчивость (если она есть), а характеристическое уравнение часто упрощается. Если такой анализ обнаружил спектральную неустойчивость, остальные значения <р можно не рассматривать. В особо сложных случаях используют численное решение характеристического уравнения при разных характерных значениях г, h, f и других параметров (например, коэффициентов уравнения).
Отметим, наконец, и такой практический рецепт: можно проводить расчет по спектрально-неустойчивой схеме, но при этом пери-
§ 121
СПЕКТРАЛЬНЫЙ ПРИЗНАК устойчивости
127
одически (после каждой серии из небольшого числа шагов по п) проводить сглаживание полученного численного решения ип, т.е. «отфильтровывать» паразитическую, негладкую компоненту. Этот прием организации расчетов используется на практике, хотя большинство вычислителей предпочитают все-таки производить фильтрацию неявно, за счет спектральной устойчивости используемой разностной схемы.
Устойчивость — асимптотическое свойство. Каждый конкретный расчет производится обычно на конкретной сетке, т.е. при фиксированных значениях шагов ти А. Процесс т -* 0, h -* 0 подразумевается, но фактически, конечно, не осуществляется. Иногда (для контроля) расчеты проводятся на нескольких разных сетках (допустим, для A0, A0/2, А°/4). Ho на конкретной, фиксированной сетке формальные критерии спектральной устойчивости и неустойчивости схемы — неравенства {| А.(<р) | s? I + Cr, VtpJ й {3 <р0; |Я(<р0)J S* q > 1} могут оказаться совместными при подходящем выборе С. Однако при т -»0 и при условии, что С и q от т не зависят, эти неравенства оказываются несовместными и происходит однозначная характеристика схемы как устойчивой или неустойчивой.
Таким образом, спектральная устойчивость — это асимптотическое свойство «схемы», т.е. семейства систем уравнений, построенных по определенному общему закону. Ббльшая часть современных прикладных расчетов проводится при столь малых шагах сетки, при которых уже вступают в действие асимптотические (при т -> О, А -* 0) свойства схемы, т.е. ее спектральная устойчивость.
Общая теория устойчивости разностных схем. Спектральный признак устойчивости имеет дело с сильно упрощенной моделью вычислительного алгоритма. Естественно, возникает потребность в более полной и адекватной теории. Ограничимся классом линейных разностных задач эволюционного типа, т.е. задач со временем, в которых счет реализуется по слоям. Такие схемы можно записать в виде
Апи« + Вуп-1 = 0, п=\,2, Ns. (4)
Здесь s — набор малых параметров (например, т, А); и" — п-й слой (вектор размерности Ms); A", Bs — матрицы Ms-* Ms; As предполагается обратимой. Ради простоты мы опускаем в (4) «правую часть».
Таким образом, будем учитывать устойчивость по начальным данным и краевым условиям. Очевидно, схему (4) можно перейи-сать в явной форме: us = R"u"~l, где Rs=-(А")~1В" — оператор
