Введение в вычислительную физику - Федоренко Р.П.
ISBN 5-7417-0002-0
Скачать (прямая ссылка):
В сущности, любая теорема о сходимости содержит оценку погрешности вида, например, 0(xq + hp), и при желании ее можно превратить в реальную оценку типа C1T9-Ь C2A^, однако постоянные Cv C2 столь велики, что авторы подобных теорем о сходимости предусмотрительно не вычисляют их. (Во всяком случае, автор ни разу не видел, чтобы подобные оценки доводились до числа в том или ином расчете. Замечательным исключением являются работы К. И. Бабенко и его последователей по так называемым «доказательным вычислениям». Ho это тема отдельного обсуждения.)
Выше было указано, что установление факта аппроксимации — стандартная элементарная выкладка, ошибиться в ней трудно. Использование для расчетов схемы, не аппроксимирующей исходную задачу, маловероятно. Напротив, установление устойчивости очень сложно, и, строго говоря, в большинстве случаев прикладные расчеты проводятся по схеме, теоретическая устойчивость которой не установлена. Можно ли из этого сделать вывод, что причиной ошибочных численных результатов является фактическая неустойчивость алгоритма? Нет. Дело обстоит как раз наоборот: неустойчивость схемы практически никогда не приводит к ошибкам, так как ее последствия носят столь катастрофический характер, что не заметить их невозможно. Часто их «замечает» ЭВМ, сигнализируя
об этом «авостом» из-за выхода чисел в область машинной бесконечности. Нелепость таких результатов столь очевидна, что они не рассматриваются как содержательно ценные.
Реальным источником погрешностей, иногда полностью обесценивающих расчет, является именно погрешность аппроксимации.
§ 12]
СПЕКТРАЛЬНЫЙ ПРИЗНАК УСТОЙЧИВОСТИ
131
Легко устанавливается наличие «формальной аппроксимации», т.е. оценка погрешности аппроксимации величиной типа 0( xq + hp) в предположении существования у искомого решения такого числа ограниченных производных, которое понадобилось для этой элементарной оценки. В теорему же Рябенького—Филиппова входит «фактическая погрешность аппроксимации», о точном значении которой a priori мало что можно сказать, так как для этого часто не хватает данных о точной характеристике гладкости искомого решения. Поэтому заранее, на основе теоретических оценок, трудно сказать, достаточно ли мал используемый в расчетах шаг сетки.
Доверие к результатам расчетов обычно основано на других неформальных соображениях. Такими средствами контроля являются, например: сопоставление результатов на разных сетках или результатов, полученных разными методами; сравнение с известными, иногда точными решениями, качественно близкими к найденным численно; сопоставление с данными экспериментов или с результатами расчетов, прошедших тщательный контроль и считающихся «эталонными». Проблема контроля численных результатов сложна, большую роль имеют опыт и неформальные знания в той области естествознания, к которой относится расчет.
Линеаризация схемы и исследование устойчивости. Исследование спектральной устойчивости схемы предполагает переход к некоторой ее модели — к линейному однородному разностному уравнению с постоянными коэффициентами. Построение такой модели требует некоторой аккуратности, иначе можно получить модель другой схемы, а не той, которая нас интересует.
Наиболее апробированный путь построения модели — это линеаризация разностной схемы. Речь идет о достаточно простой формальной операции. Пусть Ls{us) = Fs — разностная схема на сетке «s». Рассмотрим задачу для малого возмущения Fs. Другими словами, рассмотрим решение возмущенной задачи, мало отличающейся от исходной. Это возмущение вызвано, например, погрешностями вычисления Fs, т.е. заменой его на Fs + 6FS. В SFs можно включить и последствия погрешностей машинной арифметики. Такое возмущенное решение определяется уравнением для Us= us + 6us:
Ls(us + bus) = Fs + bFs.
Линеаризуя его (т.е. разлагая входящие в него выражения в ряд Тейлора с точностью до первого члена), получаем Ls(Us) + Rs бus = Fs + 6FS,
где Rs — вычисленная на решений us производная от Ls.
Итак, для bus имеем линейную разностную схему
5* Rs bu, = bFs.
132
ОСНОВЫ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ
[Ч.І
Производя в ней «замораживание» коэффициентов, перенося краевые условия «в бесконечность» и игнорируя в bFs все, кроме возмущений начальных данных, получаем схему, поддающуюся спектральному анализу. Поясним это на простом примере.
Пусть решается уравнение теплопроводности с нелинейным источником
Используя явную схему с источником «на верхнем слое»: „п
Ц... . і Unt Unt W і
.,п т ____ ~.п т m l
кпг + т h — 1/2 А
-I-QK+1),
получаем для 6и схему
K+1-ч, _ 1
т h
m+l т т т — 1
*т+1/2 Д 1/2 h
+
Ъи", + Ьи" Ьи" + Ьи" ,
4- Cl (ип Лнп + 1 -4- v' т т _ V т "*
+ Ц|Дыт-* °ит + т+1/2 2 хт-1/2 2
Полагая к,„+1/2, и^+і/г, Q«(um) равными постоянным а, й, с соответственно («замораживая» коэффициенты), приходим к следующей схеме для д и:
Ьип+1-Ьи" Ьи"-2Ьипт + Ьи" . Ьи” + 1-Ьи".
м______т __ „ т — 1____m____т+\ . * m+1____т — 1 . Х,.п + 1
т ~ д2 ^ 0 2h W •
Применяя технику вычисления спектра схемы, получаем для А.(9) выражение
