Введение в вычислительную физику - Федоренко Р.П.
ISBN 5-7417-0002-0
Скачать (прямая ссылка):
Обоснование метода сеток. Как обычно, нам нужно установить факт сходимости численного решения к точному, т.е. сравнить ипт с u(tn, Xm) и получить оценку
I < - «(*„. *m) I < Cl(xk + АР)> V « « т < X>k’
іде C1 не зависит от т, А и оценка относится к семейству решений, зависящему от шагов т, h сетки. Если такая оценка будет получена, будем говорить, что «разностная схема имеет порядок точности к по т и р по А»..
В большинстве случаев в практике решения сложных задач такую оценку получить не удается. Ho в любом случае мы должны иметь если не полное обоснование метода, то хотя бы какие-то соображения, грубые оценки. И здесь появляется первое необходимое требование к разностной схеме: она должна аппроксимировать решаемую дифференциальную задачу. Это минимальное требование.
Напомним общую схему исследования аппроксимации. Дифференциальную задачу записываем в операторной форме:
LU = F,
где L — оператор, U — искомая функция, F — заданная правая часть. Аппроксимирующую задачу (точнее, семейство задач) представим в виде
LS US = FS-
Здесь s — символ сетки (т.е. параметров /гитв нашем случае), us — сеточное решение, Fs — сеточная правая часть, Ls — оператор, действующий в пространстве сеточных функций.
ИНТЕГРИРОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ»
107
Обозначим через Us ограничение на сетку точного решения U дифференциальной задачи. Можно подставить Us в разностные уравнения и вычислить невязку:
Ws- Fs-
Если она стремится к нулю (при A-* 0, т -* 0), то говорят, что разностная задача аппроксимирует дифференциальную. Если установлена оценка |hs|| =S С(тч + hp), то говорят, что разностная задача (схема) имеет порядок аппроксимации q по т и р по h.
Обычно устанавливается так называемая формальная аппроксимация, основанная на предположении такой гладкости решения, какая понадобится при оценке ||т)||. Это операция несложная, но нужна некоторая аккуратность и педантичность в оформлении задач в операторном виде.
Итак, сначала надо описать оператор L; отображающий функцию U, определенную на [0, X] х [0, Т], в аналогичную функцию, притом так, чтобы запись LU = F включала все, что есть в задаче. Положим
'U(OfX), t=0, хє[0, X],
\Ut — Uxx\(t, x), tE(0,T I, xG(0J), [-a,?/x+&?/](*,<>), x = 0, ґ Є (0,71, Ia2Ux +^1U](t, X), x = X, (6(0,71).
(Оператор L отображает U в комплекс из четырех разных функций.) Функцию F определим, используя ту или иную компоненту правой части в соответствующем диапазоне изменения t, х. Они те же, что и при определении LU:
F(t, х) = {и0(х); f(t,x); ^(г); ^2(O)-
Очевидно, наша цель достигнута, и LU = F есть компактная запись всей задачи.
То же самое надо проделать с разностной задачей: нужно определить Ls — отображение сеточной функции в сеточную. Для явной схемы имеем
м = 0, m = 0, 1, ..., М,
п= 1,2,..., JV, m = 1, 2, ..., M — 1,
(LU)(t, х) =
(WsYm =
т’
и"-ип
и" _. — 2и‘
tn— І і
+ PlMS-
+ P2jiA/'
m ¦
m ¦
0, п= 1,2, ..., N, М, п = 1, 2,
108
ОСНОВЫ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ
[Ч. I
Определим и сеточную правую часть:
где
При вычислении (Zrs)U1 используется тот или иной вариант правой части в зависимости от диапазона изменения индексов т, п.
Теперь можно оценить невязку Tjs. Оценки эти тривиальны, они связаны с известными оценками погрешностей аппроксимации при замене производных теми или иными разностями. Они, разумеется, носят формальный характер и в данном случае основаны на предположениях о существовании у решения U(t,x) ограниченных вторых производных по t и четвертых производных по х. Вычислим невязку:
Используя разложение в ряд Тейлора функции U(nx, mk) по т и h, получаем
Каждая компонента правой части относится к своему диапазону изменения индексов т, п. В данном случае схема имеет первый порядок аппроксимации по х и А.
Итак, мы получаем знакомую ситуацию. Приближенное решение находится решением задачи LsUs = Fs, а точное Us можно было бы найти решением почти такой же задачи LsUs = Fs + т]5. Ho мы не знаем Tjs, знаем только оценку для нее и то, что это есть величина сколь угодно малая, если шага сетки достаточно малы. Мы не имеем права утверждать, что из совпадения (с точностью до погрешности аппроксимации) уравнений следует, что и их решения совпадают с точностью до величин порядка погрешности аппроксимации. Это право мы получим, если докажем устойчивость разностной задачи.
Разностная задача называется устойчивой, если из
следует, что ||м5 — UiD *5 С(||е')| + ||е"||), причем постоянная С не зависит от сетки s (т.е. от т, А). Установить устойчивость обычно бывает очень трудно. Ho для линейного уравнения теплопроводности это можно сделать.
Устойчивость явной схемы. Рассмотрим уравнение с теми же краевыми условиями и начальными данными:
«С = {0; 0(т + А2); О(А); 0(h)).
§ 11] ИНТЕГРИРОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ 109
Это есть линейное уравнение с переменными коэффициентами. Прежде всего заметим, что нужно конкретизировать вид норм. Устойчивость можно устанавливать в разных нормах. Здесь мы используем самую наглядную и надежную:
