Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Федоренко Р.П. -> "Введение в вычислительную физику" -> 42

Введение в вычислительную физику - Федоренко Р.П.

Федоренко Р.П. Введение в вычислительную физику — М.: Физ-тех, 1994. — 528 c.
ISBN 5-7417-0002-0
Скачать (прямая ссылка): vvedenievvichesleniyah1994.djvu
Предыдущая << 1 .. 36 37 38 39 40 41 < 42 > 43 44 45 46 47 48 .. 210 >> Следующая


Таблица 9

-6 21 -50 90 -126 141 -126 90 -50 21 -6
1 -5 15 -30 45 -51 45 -30 15 -5 1
0 1 -4 10 -16 19 -16 10 -4 1 0
0 0 1 -3 6 -7 6 -3 1 0 0
0 0 0 1 -2 3 -2 1 0 0 0
0 0 0 0 1 -1 1 0 0 0 0
0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 . 0

Теперь возьмем начальные данные с изолированной погрешностью: = 1, остальные и® = 0, и станем решать задачу по явной схе-

ме, нарушив условие Куранта. Для иллюстрации удобно взять х = А2. Тогда м"+1 = м" _л — -f «^+1. В табл. 9 представлены результаты, полученные для п = 1, 2, ..., 6.

Из таблицы видно, что решение возрастает почти в три раза за шаг и примерно через 20 шагов достигает катастрофического значения (порядка IO9). А ведь в расчетах делаются сотни шагов по времени! Обратите внимание на характерный (по m) профиль функции и". Он носит «пилообразный» характер: (—3)n(—l)mv?n, где

vm — «гладкая» сеточная функция. Это характерный признак вычислительной неустойчивости. Обычно вычислители просматривают
§11] ИНТЕГРИРОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ 113

Л -V P і “ V \ї* «

полученные результаты, строят графики сеточных функций. Часто уже внешний вид таких функций содержит «намек» на какое-то неблагополучие, на сомнительность результата.

На рис. 11 показаны два примерных графика и?, т = 1,2, 3, ... Первый, естественно, воспринимается как сеточная проекция «хорошей» функции, второй — типичный пример «подозрительного» решения. Общее качественное соображение носит простой характер: в методе конечных разностей каждое «событие» должно быть разрешено несколькими точками. «Событием» мы называем колебание функции, переход с одного уровня на другой и т.п.

Если такое «событие» происходит на одном счетном интервале — это явно подозрительно, настораживает, делает результаты m

сомнительными.

Вычислители очень не любят «пилооб- Рис 11

разных» графиков. Однако не следует все

абсолютизировать. He следует думать, что если получены точки и” , легко укладывающиеся на гладкую функцию, то имеется гарантия правильности расчета. «Пила» на решении — тоже не 100 %-ная гарантия ошибочности расчета, хотя ничего хорошего в этом нет.

Появление «пилы» на графике сеточной функции часто является признаком вычислительной неустойчивости разностной схемы. Ho настоящая вычислительная неустойчивость сопровождается еще и очень быстрым нарастанием амплитуды «пилы», настолько быстрым, что за несколько шагов решение может вообще выйти за пределы машинной бесконечности.

Сходимость разностных схем. (Точнее, следует говорить о сходимости приближенного решения к точному при т, А 0.) Установив устойчивость схемы и оценив погрешность аппроксимации, воспользуемся теоремой Рябенького—Филиппова и получим оценку

WUs-UsW = o(x + h).

В явной схеме г = 0(А2). Такое же соотношение во многих случаях приходится выдерживать по соображениям точности расчета и в неявных схемах (см. §21). Было бы желательно иметь в оценке

0( х + А2), тем более что почти во всех узлах сетки невязка есть 0( А2); мешает только аппроксимация краевых условий с погрешностью О(А). Улучшим ее, используя характерный прием.

Выпишем погрешность аппроксимации (2) более аккуратно, используя ряд Тейлора:
114

ОСНОВЫ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ

[Ч.І

Тогда

в левую и заменяя Uxx разностной аппроксимацией, получаем аппроксимацию краевого условия второго порядка:

В реализации явной схемы никаких осложнений не возникает. В неявной схеме это приводит к нарушению трехдиагональной структуры уравнений на верхнем слое. Предоставим читателю внести необходимые дополнения в алгоритм решения уравнений на верхнем слое прогонкой.

§ 12. Спектральный признак устойчивости

Рассмотрим основной аналитический аппарат исследования устойчивости разностных схем, который имеет дело не с реальной вычислительной схемой, а с некоторой ее моделью. Он связан с более или менее обозримой и выполнимой аналитической работой, благодаря чему и получил самое широкое распространение. Хотя этот метод исследования не дает точного ответа на вопрос об устойчивости, он позволяет отбраковать подавляющее большинство заведомо неустойчивых схем, а схемы, признанные на основе спектрального признака устойчивыми, как правило, на самом деле являются таковыми.

Начнем с двух упрощений, которые приходится произвести, чтобы можно было применять аппарат спектральной устойчивости. Имеются в виду:

а) линейные, однородные с постоянными коэффициентами схемы;

б) задача Коши на всем пространстве, без краевых условий (их место занимают условия типа «ограниченности на бесконечности»).

Итак, если нас интересует разностная схема для общего уравнения теплопроводности

—а

=-OlUx +P1U-% + 0(h2).

то исследование проводится для уравнения

к, a = const.
СПЕКТРАЛЬНЫЙ ПРИЗНАК УСТОЙЧИВОСТИ

115

Рассмотрим явную разностную схему (1.10):

т = 0, ±1, ..., ±°°, л = 0, 1, ..., N=Tjx.

Исследование основано на следующем общем факте: все линейные однородные разностные уравнения с постоянными коэффициентами, заданные на всем пространстве (с условием ограниченности на бесконечности), имеют универсальное полное семейство частных решений
Предыдущая << 1 .. 36 37 38 39 40 41 < 42 > 43 44 45 46 47 48 .. 210 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed