Введение в вычислительную физику - Федоренко Р.П.
ISBN 5-7417-0002-0
Скачать (прямая ссылка):
, ( ип+1 + ип-1
2т A2 I m-1 2 т+1
Эта схема трехслойная, расчет требует задания двух начальных слоев м° и и1 (и1 можно вычислить, например, по явной двухслойной схеме). В приведенном уравнении предполагаются известными значения ип ~1 и ип, 1 явно выражается через известные величины на двух предыдущих слоях.
Стандартное исследование устойчивости приводит к характеристическому уравнению
X2-I 2Хcos vp—(X2-M)
2т Л2
Обозначая г = А2/2т, представим уравнение в другой форме: ^-2^ + 1^ = 0.
Решение выписывается просто:
^ COS vp ± Vcos2Vp- 1 + Г2
Ч 2 - FTr •
СПЕКТРАЛЬНЫЙ ПРИЗНАК устойчивости
119
Рассмотрим два случая.
а) cos2 — 1 + г2 < 0. Корни комплексно-сопряженные, их произведение IX1X2I = 1(1 — r)/(I + г) I <1, т.е. IX1I = I X2I <1.
б) P2 = Г2 — ( I — COS2 If) > 0. Очевидно, что р< г и корни
X1 2 = (cos if ± р)/( 1 + г). Несложный анализ, основанный на том, что |cos >р| ^ I, I ± р\ < г, показывает, что в этом случае корни IXiHl, |Х2| <1.
Итак, схема «ромб» безусловно-устойчива. К сожалению, она не годится для решения уравнения теплопроводности, так как не аппроксимирует его. Причина этого состоит в замене значения wjj, на
0.5(m”+j + Погрешность такой замены есть 0(т2) и была бы
допустимой в других ситуациях, но это среднее используется при аппроксимации второй производной, т.е. в выражении, делящемся на Л2. В результате в погрешности аппроксимации появляется член 0( x2/h2), что делает такую схему допустимой лишь при очень малых т, например при г = 0(Л2), т.е. мы не получаем серьезных преимуществ от безусловной устойчивости. Однако она представляет определенный интерес, особенно в задаче «на установление», коща решение уравнения теплопроводности (с не зависящими от времени правыми частями и краевыми условиями) в пределе при t—»°o переходит в решение уравнения Пуассона. В этом случае детали процесса выхода решения на предел игнорируются.
Схема «квадрат». Для уравнения переноса Ut + их = / часто используется схема «квадрат» (в теории переноса излучения эта схема получила название «алмазная»):
1 («»+‘1 + “m+1 т “m+l+'C'l
л 2 2
+ T
и&і+Сн tC'+un\ fn m
2 2
___ fn+1/2
— > т + 1/2 •
Опуская несложные выкладки, приведем выражение для спектральной функции:
Х(<р)= fl + /itg|)/(l-iitg|)
Очевидно, I X(ip) I = 1. Таким образом, эта схема безусловно-устойчива. На первый взгляд она неявная, так как в каждое разностное уравнение входят две величины с верхнего слоя. Однако решение уравнений на верхнем слое в данном случае столь просто выписывается в «явном» виде, что подобные схемы относят к явным.
В самом деле для, уравнения переноса и, -f Ux = / математически корректной является задача с начальными данными и одним краевым условием на левой границе. Пусть для простоты задано
120
ОСНОВЫ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ
[Ч.І
значение и на левой границе: u(t, 0) = г|)(0> т-е- ПРИ переходе со слоя п на слой п + 1 известны величины ип и значение иJJ+1. В этом случае уравнения верхнего слоя разрешаются явно слева-направо (такие алгоритмы получили название «маршевых»). Из разностного уравнения легко выразить неизвестное через известные уже
Заметим, что «маршевый» алгоритм (последовательного вычис-
эффициента усиления» накопившейся погрешности при переходе um+1 к wJnVi 1(т~ h)/{x + h)\ < 1. Кстати, при попытке решать по этой схеме «неправильную» краевую задачу, когда заданы значения и на правой границе области (т.е. известны ипм), мы легко пблучим формулу «маршевого» алгоритма, действующего справа-налево, однако в этом случае коэффициент усиления погрешности есть (А + т)/(А— т) и такой «марш» вычислительно-неустойчив.
Содержательный смысл спектральной устойчивости. Выясним, что, собственно, следует из спектральной устойчивости или неустойчивости разностной схемы. Покажем, что, если схема спектрально-неустойчива, она непригодна для решения задач, так как погрешности в начальных данных катастрофически нарастают и портят решение до такой степени, что оно становится полностью бессмысленным. Если схема спектрально-устойчива, этого не происходит.
Пусть проведен расчет по какой-то разностной схеме, начиная с начальных данных и°т, т Є (—<», »), и этот расчет дает решение и", п = 0, Расчет, начинающийся с начальных данных с ма-
лой погрешностью U0m = U0m + 6° , ||6°|| < е, дает возмущенное решение ы". В силу линейности задачи и," = и?п + 6?, ще — расчет по той же схеме, начинающийся с 6° . Нас интересует величина I ит ~~ ит I • Если она мала, то все в порядке: погрешности в начальных данных приводят к малым последствиям.
Рассмотрим погрешности, малые в норме I2:
) + ^fnmVlh
ления Ы|+1, «2 + 1> •••) вычислительно-устойчив, так как модуль «ко-
1/2
P0Il= 2Ю2
т
§12]
СПЕКТРАЛЬНЫЙ ПРИЗНАК УСТОЙЧИВОСТИ
121
Используя теорию дискретного преобразования Фурье, разложим сеточную функцию в интеграл Фурье:
2jt
Jc(lP) еІт<Г dtP-
• 1/2 ' 2и 1/2
2 (О2 — I |с(9)|2^9
m 0
Здесь с(<р) — фурье-образ сеточной функции 6° . Функция с(9) вычисляется по формуле с(<р) = V^ 6“ где V — нормирующий