Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Федоренко Р.П. -> "Введение в вычислительную физику" -> 44

Введение в вычислительную физику - Федоренко Р.П.

Федоренко Р.П. Введение в вычислительную физику — М.: Физ-тех, 1994. — 528 c.
ISBN 5-7417-0002-0
Скачать (прямая ссылка): vvedenievvichesleniyah1994.djvu
Предыдущая << 1 .. 38 39 40 41 42 43 < 44 > 45 46 47 48 49 50 .. 210 >> Следующая


, ( ип+1 + ип-1

2т A2 I m-1 2 т+1

Эта схема трехслойная, расчет требует задания двух начальных слоев м° и и1 (и1 можно вычислить, например, по явной двухслойной схеме). В приведенном уравнении предполагаются известными значения ип ~1 и ип, 1 явно выражается через известные величины на двух предыдущих слоях.

Стандартное исследование устойчивости приводит к характеристическому уравнению

X2-I 2Хcos vp—(X2-M)

2т Л2

Обозначая г = А2/2т, представим уравнение в другой форме: ^-2^ + 1^ = 0.

Решение выписывается просто:

^ COS vp ± Vcos2Vp- 1 + Г2

Ч 2 - FTr •
СПЕКТРАЛЬНЫЙ ПРИЗНАК устойчивости

119

Рассмотрим два случая.

а) cos2 — 1 + г2 < 0. Корни комплексно-сопряженные, их произведение IX1X2I = 1(1 — r)/(I + г) I <1, т.е. IX1I = I X2I <1.

б) P2 = Г2 — ( I — COS2 If) > 0. Очевидно, что р< г и корни

X1 2 = (cos if ± р)/( 1 + г). Несложный анализ, основанный на том, что |cos >р| ^ I, I ± р\ < г, показывает, что в этом случае корни IXiHl, |Х2| <1.

Итак, схема «ромб» безусловно-устойчива. К сожалению, она не годится для решения уравнения теплопроводности, так как не аппроксимирует его. Причина этого состоит в замене значения wjj, на

0.5(m”+j + Погрешность такой замены есть 0(т2) и была бы

допустимой в других ситуациях, но это среднее используется при аппроксимации второй производной, т.е. в выражении, делящемся на Л2. В результате в погрешности аппроксимации появляется член 0( x2/h2), что делает такую схему допустимой лишь при очень малых т, например при г = 0(Л2), т.е. мы не получаем серьезных преимуществ от безусловной устойчивости. Однако она представляет определенный интерес, особенно в задаче «на установление», коща решение уравнения теплопроводности (с не зависящими от времени правыми частями и краевыми условиями) в пределе при t—»°o переходит в решение уравнения Пуассона. В этом случае детали процесса выхода решения на предел игнорируются.

Схема «квадрат». Для уравнения переноса Ut + их = / часто используется схема «квадрат» (в теории переноса излучения эта схема получила название «алмазная»):

1 («»+‘1 + “m+1 т “m+l+'C'l
л 2 2

+ T

и&і+Сн tC'+un\ fn m
2 2

___ fn+1/2

— > т + 1/2 •

Опуская несложные выкладки, приведем выражение для спектральной функции:

Х(<р)= fl + /itg|)/(l-iitg|)

Очевидно, I X(ip) I = 1. Таким образом, эта схема безусловно-устойчива. На первый взгляд она неявная, так как в каждое разностное уравнение входят две величины с верхнего слоя. Однако решение уравнений на верхнем слое в данном случае столь просто выписывается в «явном» виде, что подобные схемы относят к явным.

В самом деле для, уравнения переноса и, -f Ux = / математически корректной является задача с начальными данными и одним краевым условием на левой границе. Пусть для простоты задано
120

ОСНОВЫ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ

[Ч.І

значение и на левой границе: u(t, 0) = г|)(0> т-е- ПРИ переходе со слоя п на слой п + 1 известны величины ип и значение иJJ+1. В этом случае уравнения верхнего слоя разрешаются явно слева-направо (такие алгоритмы получили название «маршевых»). Из разностного уравнения легко выразить неизвестное через известные уже

Заметим, что «маршевый» алгоритм (последовательного вычис-

эффициента усиления» накопившейся погрешности при переходе um+1 к wJnVi 1(т~ h)/{x + h)\ < 1. Кстати, при попытке решать по этой схеме «неправильную» краевую задачу, когда заданы значения и на правой границе области (т.е. известны ипм), мы легко пблучим формулу «маршевого» алгоритма, действующего справа-налево, однако в этом случае коэффициент усиления погрешности есть (А + т)/(А— т) и такой «марш» вычислительно-неустойчив.

Содержательный смысл спектральной устойчивости. Выясним, что, собственно, следует из спектральной устойчивости или неустойчивости разностной схемы. Покажем, что, если схема спектрально-неустойчива, она непригодна для решения задач, так как погрешности в начальных данных катастрофически нарастают и портят решение до такой степени, что оно становится полностью бессмысленным. Если схема спектрально-устойчива, этого не происходит.

Пусть проведен расчет по какой-то разностной схеме, начиная с начальных данных и°т, т Є (—<», »), и этот расчет дает решение и", п = 0, Расчет, начинающийся с начальных данных с ма-

лой погрешностью U0m = U0m + 6° , ||6°|| < е, дает возмущенное решение ы". В силу линейности задачи и," = и?п + 6?, ще — расчет по той же схеме, начинающийся с 6° . Нас интересует величина I ит ~~ ит I • Если она мала, то все в порядке: погрешности в начальных данных приводят к малым последствиям.

Рассмотрим погрешности, малые в норме I2:

) + ^fnmVlh

ления Ы|+1, «2 + 1> •••) вычислительно-устойчив, так как модуль «ко-

1/2

P0Il= 2Ю2

т
§12]

СПЕКТРАЛЬНЫЙ ПРИЗНАК УСТОЙЧИВОСТИ

121

Используя теорию дискретного преобразования Фурье, разложим сеточную функцию в интеграл Фурье:

2jt

Jc(lP) еІт<Г dtP-

• 1/2 ' 2и 1/2
2 (О2 — I |с(9)|2^9
m 0

Здесь с(<р) — фурье-образ сеточной функции 6° . Функция с(9) вычисляется по формуле с(<р) = V^ 6“ где V — нормирующий
Предыдущая << 1 .. 38 39 40 41 42 43 < 44 > 45 46 47 48 49 50 .. 210 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed