Введение в вычислительную физику - Федоренко Р.П.
ISBN 5-7417-0002-0
Скачать (прямая ссылка):
Мч>) = Т~ - 4 Jz а sin2 2 + * Ti b sin 1P
Несложный анализ, который мы предоставим провести читателю, показывает, что мы, кажется, зря старались с аккуратной линеаризацией: появляющиеся дополнительные члены (ix/h)b sin (р и сх определяют малые (порядка 0(т)) поправки к величине
1 — (4х/А2) sin2 (<р/2), которая получается в более простой модели.
А такие поправки на выводы об устойчивости не влияют. Это наблюдается не только в рассмотренном простом примере, но и в общем случае: спектральная устойчивость как асимптотическое свойство определяется аппроксимацией «главных» дифференциальных
членов решаемого уравнения, младшие члены вносят в характе-
ристическое уравнение лишь малые (порядка О(х), O(A)) возмущения.
§13]
МЕТОД ПЕРЕМЕННЫХ НАПРАВЛЕНИЙ
133
Все это так, если бы не следующее обстоятельство. Иногда приходится решать задачи, в которых в отдельных узких частях области определения решения коэффициенты при младших дифференциальных членах становятся очень большими (например, порядка O(Mh)). В этом случае младшие члены в характеристическом уравнении уже оказывают на Х(<р) такое же влияние, как и главные, и их надо учитывать. Пример такой ситуации — расчет ударной волны методом искусственной вязкости, который в дальнейшем будет описан подробно. Здесь укажем только, что речь идет о расчете разрыва в решении, который в вычислениях «размазывается», т.е. заменяется узкой зоной (порядка 4h) непрерывного решения с большим градиентом O(Hh), причем при т-*0, А —* О длина зоны размазывания тоже стремится к нулю, а градиент решения всегда имеет величину порядка O(Mh). Наличие таких зон может привести к своеобразной неустойчивости за счет младших членов.
§ 13. Метод переменных н^/іравлений
Рассмотрим простейшую двумерную задачу для уравнения теплопроводности. В области 0<Ж.Х\ О =S у < У, KT ищется функция u(t, х, у), удовлетворяющая уравнению теплопроводности
W = ^ + 73 + /(*.*. У)
dt дХ ду2
с начальными данными и(0, х, у) = и0(х, у) и краевыми условиями на боковых стенках области
u(t, 0, у) = <рх(<, у), u(t, X, у) = <р2(<, у),
u(t, х, 0) = «Рз(t, х), u(t, х, У) = «р4(<, х).
(Можно рассматривать и другие условия, свои на разных частях границы.)
Метод сеток строится, как обычно, из стандартных элементов.
1. Сетка — множество точек (п, к, т) с геометрическими координатами tn, хк, ут. Ради простоты рассмотрим равномерную сетку: tn = пх, xk = kh, ут = mh (можно брать разные шаги hx, hy).
2. Приближенное решение ищется в виде сеточной функции
п = 0, I, ..., N, к = 0, 1, ..., К, «1 = 0, I, ...,М.
3. Разностное уравнение строится так же, как в § 11.
Явная схема:
134
ОСНОВЫ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ
[Ч.І
Здесь, ради краткости, мы используем компактные обозначения типа
Ги
дх2
- 2 и’! -
________к, т
U
к+\, т
к, т
Несложное исследование спектральной устойчивости с универсальной конструкцией
Ip, Є [0, 2л],
,.п _ 1Плі&Ф + іт\Ь
ик, т — А е »
приводит к спектральной функции
Я(ф, т, Ajc, А , «схема») = 1—4
T . 2 Ф
-Г Sinz ~
її2 2
4^sin2I
У
откуда получаем условие Куранта т(1/А2 + 1/А2) ^ 1/2.
Неявная схема: „»+1 _
U
к, т
д‘и
дх2
>1 + 1
+
к, m
n-ь1
+ Л
А:, т>
Л, т
X(tp, -9) = 11 + 4 -Ь sin2 f + 4 sin21
V «р, ц» Є 10, 2л].
Эта схема безусловно устойчивая, но уравнение на верхнем слое очень сложное: каждое уравнение связывает пять неизвестных. Картина «связности» имеет вид, показанный на рис. 12, т.е. получается
система KM уравнений с матрицей, в каждой строке которой всего пять ненулевых элементов.
Мы не останавливаемся специально на аппроксимации начальных данных и краевых условий, так как здесь ничего нового по сравнению с одномерной задачей не появляется. Эти уравнения замыкают систему уравнений на верхнем слое. Матрица системы имеет специальную структуру: все ненулевые элементы расположены на пяти диагоналях.
Матрицы подобного рода часто появляются при аппроксимации краевых задач методом сеток. Они получили специальное название «ленточные матрицы». Этот термин связан с тем, что в такой матрице можно выделить «ленту» около главной диагонали, в которой расположены все ненулевые элементы, и «площадь» ленты (в нашем случае 2КМК) существенно меньше «площади» матрицы K2M2.
Рис. 12
§ 131
МЕТОД ПЕРЕМЕННЫХ НАПРАВЛЕНИЙ
135
В настоящее время созданы специальные методы решения систем уравнений с такими матрицами. Их основная особенность состоит в том, что в процессе решения ненулевые элементы появляются только в области исходной ленты, т.е. можно проводить вычисления с объемом памяти, существенно меньшим объема полной матрицы; соответственно уменьшается и число операций.
Однако в нашем случае есть другой путь: построение такой аппроксимации уравнения теплопроводности, которая совмещает безусловную устойчивость с возможностью построения чрезвычайно эффективного алгоритма решения уравнений на верхнем слое. Эта конструкция (так называемый метод переменных направлений) — одно из важных изобретений в современных численных методах решения задач математической физики. Существенным ее элементом является метод прогонки. Шаги по времени не одинаковы. Они выполняются по чередующимся формулам (четные по одной схеме, нечетные по другой).
