Введение в вычислительную физику - Федоренко Р.П.
ISBN 5-7417-0002-0
Скачать (прямая ссылка):
Рассмотрим пару шагов: и'1 известно. Вычислим сначала un+l, затем ип+2. і
1. Первый шаг: un-*un+l. Используем схему
+ 1 ,.П / 9 \ Я+ I
+
дх‘ ,
к, т
/ у \ п
+п
дПк,т
в которой производная по дс аппроксимируется на верхнем слое, производная по у — на нижнем.
Система уравнений на верхнем слое расщепляется на независимые системы. Каждая такая система объединяет неизвестные, лежащие на одной горизонтальной линии, и каждая группа переменных {м"} = {и% т} (к — 0, 1, ..., К) может быть найдена независимо от всех остальных. Более того, эта система является системой с трехдиагональной матрицей и может быть решена прогонкой по горизонтальной линии ценой O(K) операций. Всего таких линий М; следовательно, весь массив un+i может быть найден ценой O(KM) операций, т.е. число операций пропорционально числу неизвестных.
2. Второй шаг: un+l -* ип+г. Он осуществляется по аналогичной схеме, но с переменой ролей х и у:
,,П + 2 Л + 1 / 7 \ П + 1 / 9 \ Я + 2
«I. „ — и. _ / я', -
к, т ик, т __ Idu
+ М, +/!-'
к, т \ / к, пг
Здесь та же ситуация, только система расщепляется на независимые подсистемы, объединяющие переменные на одной вертикали:
{«Г2) = К+«}. т — 0,1, ..., М.
136 ОСНОВЫ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ [Ч. 1
Таким образом, алгоритм метода переменных направлений «экономичен», т.е. число операций пропорционально числу неизвестных.
Спектральная устойчивость схемы переменных направлений.
Рассмотрим эволюцию универсальной функции за два
стандартных шага. Схема эволюции такая:
ип s gikf+imy^+ un+i _ Xj(<p, гр) еік^*1т^> (первый шаг);
ип+і = еікУ+ітУ—і* ип+2 — Х2(<р, ty) еікУ+ітУ (второй шаг). Сдвоенный шаг дает
Un S ип+і — \^ип _» X2un+t =
= X2XlUn= Хх(<р, ip)X2(<p, ^elkV+im^.
Здесь Л.(tp, гр) = X1X2 отвечает за устойчивость схемы.
Вычисляем X1:
= _ 4^-sin2?_4-Lsin2|,
т Л2 2 Л2 2
•* У
т.е.
*1 = (1 - 4 J2 Si°2 2)/(1 + 4 Jl Sin2 2) •
Аналогично (с переменой ролей х и у) вычисляем X2:
Окончательно:
1 — 4 (тIhb sin2 (f/2) 1 —4 (тIhb sin2 (-ф/2)
Х.(ф, Th) = X1X2 =--------^------------------\----5----.
12 I + 4 Ulh2) sin <ч>/2) 1+4 (т/Л2) sin2(i|)/2)
Очевидно, I Х(«р, "ф) I < 1 и схема безусловно устойчива.
О краевых условиях. При осуществлении прогонки «по линии» система разностных уравнений замыкается соответствующими краевыми условиями. В случае задания значений и на границе области дело совсем просто: правые и левые значения un+l на данной линии уже известны. He возникает трудностей и в том случае, когда заданы общие краевые условия третьего рода: —a + ^u = Ц>, где V — направление внешней нормали к грани-
’2Ї-
МЕТОД ПЕРЕМЕННЫХ НАПРАВЛЕНИЙ
137
це. Аппроксимация, например, на правой границе (при х = X) имеет очевидную форму:
« і = «=1,2, ...,M- 1.
Она использует величины ы"+1 на одной т-й горизонтали сетки и не препятствует расщеплению системы на изолированные подсистемы. Однако если заданы условия с косой производной (это нечасто встречающийся в . приложениях случай), их аппроксимация уже не может быть осуществлена по величинам на одной линии.
Аналогичные препятствия к непосредственному обобщению схемы метода переменных направлений возникают и при краевых условиях с нормальной производной на границе непрямоугольной области, если ее граница не проходит по координатной линии сетки и направление нормали к такой границе является «косым» по отношению к линии сетки.
Основная конструктивная идея метода переменных направлений оказалась очень плодотворной и была в дальнейшем обобщена. Ниже кратко описываются два обобщения, часто применяемые в современной практике конструирования разностных схем для краевых задач математической физики.
Метод дробных шагов. Суммарная аппроксимация. Рассмотрим эволюционную систему дифференциальных уравнений с частными производными в общей форме:
= L1U +L2U+f.
Здесь L1, L2 — операторы дифференцирования по х и у соответственно; и в принципе может быть вектор-функцией; / — заданная правая часть. (В такой системе отсутствуют члены со смешанными производными.)
В методе дробных шагов переход от слоя ип к слою ип+1 совершается с использованием дробного промежуточного шага ип+112, который условно МОЖНО отнести К моменту времени tn + ll2 = tn + х/2 (т — шаг сетки по t). Схема стандартной группы дробных шагов такова. Пусть ип известно.
1. Вычисляем ип+т, используя, например, неявную схему
..Я+1/2 П
±- . “ =L1U^ + /х.
Ради простоты мы не вводим особых обозначений для сеточных функций и разностных аппроксимаций дифференциальных операторов. Читатель по тексту без труда догадается,, где речь идет о
138 ОСНОВЫ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ [4-І
дифференциальном уравнении, а где — о его конечно-разностной аппроксимации.
Уравнение первого дробного шага на верхнем слое распадается на серии независимых уравнений, связывающих неизвестные на одной линии сетки. Такие разностные уравнения называются локально-одномерными. Второе пространственное измерение в этих уравнениях присутствует в качестве параметра, определяющего совокупность «одномерных» задач.
