Введение в вычислительную физику - Федоренко Р.П.
ISBN 5-7417-0002-0
Скачать (прямая ссылка):
2. Второй дробный шаг строится аналогично:
,,"+I _ ,./>+1/2
і-----Ji--= L2un+l + fv
Он имеет такую же локально-одномерную структуру. Уравнения на верхнем слое в обоих случаях обычно решаются алгоритмами типа прогонки, как и в методе переменных направлений. В этих общих терминах метод переменных направлений записывается в форме
,.«+1_.,п
U¦ у ¦¦ = LlUn+1 + L2Un + /,
..л+2 л+1
----------= LlUn+1 + L2Un+2 + /.
Для метода дробных шагов нам надо еще уточнить два вопроса. Как «разбить» правую часть / на Z1 и /2? Какому времени соответствует функция un+l: tn + T или tn + 2т? На оба вопроса мы получим ответ, используя формальную процедуру «исключения промежуточного слоя», которая приведет к сравнительно обычной форме аппроксимации.
Запишем уравнения дробных шагов в виде
(Е- гL1)ип+112= ип + Xfl, (E-XL2)Un+1 = ип+т+х/г Подействуем на второе из них оператором E — TL1:
(E - xLi)(E-xL2)un+l = (E-XLl)Un+112+х (Е - хL1) f2.
Используя уравнение первого дробного шага, исключаем ип+Х12: (Е- XL1)(Е— хL2)un+l = ип + Xfl + T(^-TL1)Z2.
Это уравнение можно привести к сравнительно стандартной форме (предварительно раскроем скобки):
и—= LiUn+1 + L2Un+1 + (Д + Z2) + t(L,Z2 + LlL2Un+1).
§ 13]
МЕТОД ПЕРЕМЕННЫХ НАПРАВЛЕНИЙ
139
Последний член имеет величину порядка 0( х) и относится к погрешности аппроксимации.
На два поставленных вопроса следуют очевидные ответы: два дробных шага осуществляют продвижение решения по времени на т, а не на 2х, как во внешне похожем методе переменных направлений. Правые части Z1 и /2 вводят так, чтобы Z1 + /2 = /, т.е., например, Z1 = /2 = //2. Разумеется, равенство Z1 + /2 = / можно трактовать с точностью, например, до О(х).
Заметим, что мы провели выкладки формально, упуская при этом из вида существенное обстоятельство — краевые условия. Дело в том, что проделывая выкладки достаточно аккуратно, мы должны в общую операторную форму включить краевые условия примерно в том стиле, как это делалось в § 11 при записи конкретной задачи в абстрактной форме. Эта аккуратность имеет определенные практические последствия: в методе дробных шагов нужно достаточно ответственно подходить к аппроксимации краевых условий. На это впервые, видимо, обратил внимание Е. Г. Дьяконов, он же разработал формализм соответствующего анализа. Здесь мы ограничимся тем, что обратим внимание читателя на этот момент конструирования схемы.
Полезно следующее рассуждение, приводящее к понятию о суммарной (аддитивной) аппроксимации. Будем трактовать ип, ип+і,г, un+l как величины, относящиеся к моментам tn, tn+l/2, <п+і> и вьі-числим погрешность аппроксимации каждого полушага. После очевидных преобразований получаем (полагая для простоты Z1 = Z2 = //2)
= (L1 + L2) м“+1'2 + Z + [(L1 - L2) +
„я+1_, ,я+1/2
a—^-------= (L1 + L2)un + 1 +Z- ((L1 - L2) и" + 1}.
Члены, стоящие вне фигурных скобок аппроксимируют исходное уравнение в обычном смысле слова, члены же в фигурных скобках следует отнести к погрешностям аппроксимации. Их особенность в том, что они имеют недопустимую (согласно общим представлениям) величину порядка 0(1), HO они почти равны друг другу по модулю (с точностью до О(х) из-за того, что в них участвуют и с разных слоев) и противоположны по знаку.
Влияние больших альтернирующих погрешностей в среднем компенсируется, и при определенных условиях они не препятствуют сходимости приближенного решения к точному. Грубо говоря, дело в том, что на решение дифференциального уравнения существенное влияние оказывают не мгновенные значения правых частей, а их средние значения по малым интервалам времени. В связи с этим можно сказать,
140
ОСНОВЫ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ
[Ч.І
что разностные формулы дробных шагов не аппроксимируют дифференциальных уравнений, если оценивать погрешность аппроксимации в какой-нибудь «сильной» норме (типа С или L2), но аппроксимирует в «слабой» норме, в которой такая альтернирующая по знаку функция в среднем близка к нулю (к «слабому» нулю).
Разумеется, введение «слабой» аппроксимации может быть оправдано существенным усилением теоремы типа «аппроксимация + устойчивость = сходимость». Нужно доказать, что возмущение правой части разностного уравнения погрешностью, малой в слабом смысле, но большой в обычном смысле слова, должно привести к малому (в обычном смысле слова) отличию решений. Конечно, это более тонкий факт, чем устойчивость при действительно малом возмущении, и устанавливать его в конкретных случаях гораздо труднее. Тем не менее схемы с суммарной аппроксимацией часто оказываются практически очень удобными и в последние годы все смелее вводятся в расчетные методики сложных задач (конечно, без строгого теоретического обоснования; впрочем, такого обоснования не имеют и схемы с полной аппроксимацией). Теория схем с суммарной аппроксимацией разрабатывалась Н. Н. Яненко, А. А. Самарским и их учениками.
Схемы расщепления. В сущности то, что называют схемами расщепления, формально не отличается от схем дробных шагов. Пусть решаемое дифференциальное уравнение имеет вид
