Введение в вычислительную физику - Федоренко Р.П.
ISBN 5-7417-0002-0
Скачать (прямая ссылка):
Запишем разностные уравнения на сетке {хт}т=0 = 0 (хт = mh):
где Pm, Rm — про гоночные коэффициенты, которые должны быть определены. Первые прогоночные коэффициенты P0, R0 определяются из левого краевого условия. Пусть оно имеет вид u(i, 0) = f(t). Тогда P0 = О, R0 = y(tn+l). Предоставим читателю вывести формулы для P0, R0 в случае, когда поставлено общее краевое условие их + аи = (р.
(H)
Прогоночное соотношение имеет вид
m^m + 1/2 + Rm’
т = 0, 1, ..., М— 1,
§21]
НЕЛИНЕЙНОЕ УРАВНЕНИЕ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ
321
Рекуррентное соотношение получается после исключения и из второго уравнения (11):
п + 1
т.е.
MmVI (^Хт + 1/2)^ + 1/2
<VI = (Рт - А/«« + 1/2)Пт + 1/2 +
В этом выражении исключим Пт+1/2 через Пт+3/2 и м" Vi> используя первое уравнение (11):
П„
= П„
Разрешая полученное соотношение относительно MmVl> имеем
..п + 1 — р гт A-R
ит + 1 — т + 1 т + 3/2 ' пт+1’
h
где
Pm + l — A I Рт + и
т+1/2
т + 1
Л» +
/ї
Хт+1/2І Vх
А =1 + т Л. 4
т+1/2
Это и есть формулы потоковой прогонки.
Получив значения Pm^1, Rm-I и разрешив правые краевые условия, т.е. определив «и обратную прогонку реализуем, вычисляя поочередно Пт_]/2, UnJJl, Пм_3/2 и т.д. Стандартный шаг имеет вид
Пп-1/2 = Пт+,/2 - ~ <+1 + ? и» - AQm,
.П+1 __
Мт-1 — ^т-іПт_і/2 +
Механизм преодоления трудностей, связанных с конечной разрядностью машинных чисел, тот же, что был указан в § 5: переход от уравнения высокого порядка к системе уравнений первого порядка.
Возможен и другой способ расчета области с очень большим коэффициентом теплопроводности, позволяющий обойтись стандартной прогонкой. Нужно лишь скорректировать формулу для и:
• и(м) = {ик при м<м*, (и*)к при ИЗ* и*}.
Значение м* зависит от разрядности машинных чисел. Вычислительный эксперимент показывает, что точное значение и (и) не сущест-
11 — 1833
322
ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ ФИЗИКИ
[Ч. II
венно, важно только то, что это очень большая величина. Конечно, значение их от и* зависит сильно, но физически существенная величина — тепловой поток v.ux — при росте и* быстро выходит на предельное, асимптотическое, значение.
§ 22. Реализация разностной схемы для уравнений газовой динамики с теплопроводностью
При создании алгоритма численного интегрирования уравнений газовой динамики возникает необходимость решения большого числа относительно «мелких» непринципиальных вопросов, относящихся, так сказать, к вычислительной технологии. Однако квалифицированное их решение существенным образом влияет на успех дела. В этом параграфе на примере одной конкретной схемы мы постараемся выделить эти вопросы и покажем, на каком уровне они решаются. Это, в основном, — уровень качественных соображений, теоретических исследований упрощенных моделей и, конечно же, проверка принятых решений математическим экспериментом.
Удобным примером представляется схема, разработанная в 1953— 1954 гг. авторским коллективом под руководством И. М. Гельфанда (это, видимо, была одна из первых схем подобного рода). Выбор этой схемы оправдан еще и тем, что ее реализация затрагивает достаточно полный набор наиболее важных моментов.
Математическая постановка задачи. Область расчета. Решение ищется в прямоугольной области 0 ^ х * X, 0 $ / $ /*, где х — массовая лагранжева переменная, t — время, т.е. рассчитываются события, происходящие в выделенном объеме вещества. Интервал [О, X] разбит на части точками 0 = X0 < X1 < ... < X1 = X, причем каждый из интервалов [X., Х.+1] заполнен газом того или иного сорта. Другими словами, уже геометрия задачи определяет наличие некоторых контактных разрывов (в процессе решения могут появиться и другие).
Искомые функции. Расчет состоит в определении функций, описывающих состояние газа: и, г, р, v, е, T (они имеют физический смысл скорости, эйлеровой координаты, давления, удельного объема, удельной внутренней энергии и температуры). Из этих функций основными являются и, Г, V, Т. Функции р, е связаны C V, T уравнением состояния, которое имеет свою форму в каждом веществе (т.е. на каждом из интервалов [Xi, Х.+1]. Для простоты и определенности можно иметь в виду идеальный газ, параметры которого различны для разных газов, хотя программы в таких ситуациях
§22]
РЕАЛИЗАЦИЯ РАЗНОСТНОЙ СХЕМЫ
323
обычно пишутся в терминах заданных функций Pt(T, v), Et(T, v), где і — номер вещества. Начальные данные при t = О задаются значениями и(О, х), г(0, х), v(0, х), Т(0, х).
Уравнения. Схема строится на основе уравнений газовой динамики в массовых лагранжевых координатах с добавлением теплопроводности и искусственной вязкости:
ut + (р+ q)x = 0, rt = u, Vt-Ux- 0,
(е+ u2/2)t+[(p+ q)u\x=[%i{T,v)Tx\x, ^
где q= (t/v)ux(ux — I ux I) — вязкость Неймана, и(7\ v) — заданный коэффициент теплопроводности. Для дальнейшего существенна его следующая форма, явно выделяющая степенную зависимость х
от Г: х(Т, V) = Ta а(Т, v), где а > 1, а(7\ v) — гладкая функция, ограниченная неравенствами 0< а~ < а(Т, v) $ а+. Разумеется, параметры и вид функции а зависят от вещества. Ради простоты мы ограничимся «плоским» вариантом задачи, когда г не входит явно в уравнения.
