Введение в вычислительную физику - Федоренко Р.П.
ISBN 5-7417-0002-0
Скачать (прямая ссылка):
Уравнения распространения звука превращаются в систему уравнений Коши—Римана, для которой, как известно, задача Коши некорректна. Ho программа и в этом случае продолжает решать задачу Коши (счет по слоям)! И вот эта некорректность, существующая сначала на очень небольшом участке (в двух-трех точках), начинает «разрушать» течение в соседних точках. Процесс приобретает катастрофический характер, и численное решение быстро теряет физический смысл. С этим иногда удается справляться, искусственно полагая
ет+\/2 = 0> если расчет привел к отрицательному значению. Ho это — скверный выход: он маскирует явные признаки неблагополучия, и расчет может продолжаться внешне благопристойно, потеряв, в сущности, точность. К таким мерам следует прибегать очень осторожно.
Чем же лучше в этом отношении недивергентная форма аппроксимации (8)? Дело в том, что р можно считать пропорциональным е. Следовательно, уравнение (8) можно записать в виде et = Ae (где A = —(р/е)их). Решение этого уравнения не может перейти через ось е = 0. Это в дифференциальной форме очевидно. В разностной форме аналогичное свойство не гарантируется, но его можно обеспечить достаточно малым шагом т. В самом деле, для явной и неявной схем имеем
(рп+1 - рп)/х = Арп, рп+1 = (1 + хА)рп,
(рп +1 _ рпух = Арп + Ij рп +1 _ pn/(i _ хАу
Внимательный читатель заметит, что и v может изменить знак, что тоже приведет в нефизическую область. Здесь ситуация контролируется выбором шага:
<Vl/2 = < + 1/2 + (*/Л)(«С+Л - “Г')-
§22]
РЕАЛИЗАЦИЯ РАЗНОСТНОЙ СХЕМЫ
333
Конечно, шаг начинается лишь при известных величинах на п-м слое. Анализ этих данных позволяет выбрать шаг т, учитывая, например, условие типа т < 0.5йи"+1/2/| и" +1 — и" |, V т. В большинстве случаев такой шаг г обеспечивает положительность Vnn^lj2- В противном случае переход с n-го слоя на (n + 1 )-й повторяется после уменьшения шага т вдвое, и т.д. Заметим, что это не единственные критерии, по которым шаг т ограничивается сверху. Итак, в расчетах по формуле (8) у нас есть средства, обеспечивающие положительность е.
Обратим внимание на то, что в описываемой схеме (а она, таким образом, не является полностью консервативной) положение с этой точки зрения еще более благоприятное, так как источники неотрицательны. Можно было бы предположить, что постоянный знак источников приведет к систематическому завышению значения внутренней энергии. Может быть это и так, но тут все-таки нужна более основательная аргументация. В самом деле, по сравнению с чем будет это систематическое завышение? Ведь даже утверждать, что завышение будет по сравнению с расчетом по сзіеме (8), не содержащей источников, нельзя.
Если же сравнить с точным решением, то и тут ситуация далеко неоднозначная. Подстановка в разностные уравнения точного решения дает хорошо известный нам результат. Точное решение уравнений газовой динамики (точнее, его ограничение на сетку) удовлетворяет разностным уравнениям с «источниками» в правой части (эти источники — погрешность аппроксимации)! Если бы мы знали эти источники, то включив их явно в правую часть схемы, мы получили бы точное совпадение разностного и точного решений. Так что сам по себе факт наличия «источников аппроксимационного типа» не является безоговорочным дефектом разностной схемы.
Аккуратное определение «полностью консервативной» схемы, должно учитывать следующее. Аппроксимацию (8), не содержащую источников, можно записать в виде (обозначая л = р + q)
Последний член можно трактовать как типичный аппро-ксимационный источник, имеющий (формально) величину О(т).
Другой пример. Имеется аппроксимация уравнения для е вида (em+'i/2 — ет+ш)/т + -4 = 0, где А — некоторая аппроксимация члена рих, содержащая источники. Пусть схема (е^+\п-епт+1/2)/х + В = 0 таких источников не содержит. Запишем «плохую» схему в виде
+ 0.5 +1^2 + Uzj
х
о
334
ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ ФИЗИКИ
[Ч. II
(С+1!/2 - ет+1/г)/т + 7^ = 0, где 7 = AJB = 1 + 0(т, h). Почему нельзя считать это уравнение хорошей аппроксимацией, не содержащей источников?
Уравнения на верхнем слое. Перейдем к аккуратному выписыванию уравнений, решая которые можно определить величины
и, у, Т, г. Напомним, что в разностные уравнения входят уже известные величины (с л-го слоя и с (г — 1)-й итерации). Искомые величины на г-й итерации мы условились обозначать без верхнего индекса. Для разработки метода решения уравнений на верхнем слое нам прежде всего важна структура уравнений. Поэтому займемся именно структурой, т.е. выяснением того, какие именно неизвестные входят в то или иное уравнение (напомним, что и тех, и других очень много).
Начнем с уравнения (4) для v. Оно явно разрешается относительно vmJrin, и мы в дальнейшем будем использовать формулу
Vm + U2= Vm + lll(“m, Um + l)< « = О, I, ..., А/- I. (10)
При этом мы будем описывать уравнения именно в такой форме, указывая явно только неизвестные величины; наличие известных величин мы будем отмечать индексом m + 1/2. Конечно, конкретные формы зависимостей должны быть однозначно и безошибочно запрограммированы, но в данный момент мы этого технического вопроса не рассматриваем. В (10) мы получили не все «уравнения для V». Величина vM+ll2 пока не имеет «своего» уравнения. Таковым является краевое условие. Мы приняли заданными значения Tm + 1/2’ Pm+иг- Уравнение состояния позволяет вычислить и vM+1/2.
