Введение в вычислительную физику - Федоренко Р.П.
ISBN 5-7417-0002-0
Скачать (прямая ссылка):
v\ + UVx — VUx = 0,
Ct +
340
ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ ФИЗИКИ
[Ч. II
что временное размазывание волны заметно больше пространственного (содержит больше шагов т).
Начальные данные имеют вид
,.о „о ~о _
Mm’ ^m+ 1/2’ + 1/2
2.0, 0.25, 1.688, т^О,
0, 1.0, 0, т > 0.
, Можно найти точное решение задачи. Оно состоит из:
а) волны разрежения, левой и правой границей которой являются линии X1 (t) = — 0.89ґ, x2(t) = 0.39ґ;
б) контактного разрыва на линии x3(t) = 2.92/;
в) ударной волны на линии X4 = 3.9/.
При x2(t) ^ х < x4(t) значения u(t, х) = 2.92, p(t, х) = 11.40. В
этой области у рвется на контактном разрыве:
v(t, х) = 0.352 при x2(t) < х < x3(t),
v(t, х) = 0.250 при x3(t) < х < x4(t).
Мы имеем дело с так называемой «сильной ударной волной», идущей по «холодному газу». В этом случае скачок плотности при переходе через волну максимален (сжатие в (7 + 1)/(7 — 1) « 4 раза). Используем явную схему:
"с"+* — с”" + Д с “X I C1-Vq
T , + 2 V
т + 1/2 . т + 1/2
0,
т +1/2
+
Hn+*
т + 1/2 +
Av
— V
т + 1/2
т + 1/2
о,
Au
+ V
„ + I +1/2 Ят-1/2 _
0.
Поясним некоторые ^обозначения: общие индексы вынесены за квадратные скобки; ит+1/2 = 0.5(ит + мш+1); vm = 0.5(vm_m + vm + il2);
лт+1/2 есть значение (с2 + g)/v, вычисленное по очевидной разностной аппроксимации д, причем значения v и с берутся с (п + 1)-го слоя (сначала эти величины находятся из двух первых уравнений, затем считается un+l); [Ас]т+112= ст+112-ст_т при ит+и2> 0 и
[Лс1т + 1/2 = ст+3/2~ ст + 1/2 ПРИ “т + 1/2 < Таким ЖЄ образом («против потока») берутся и разности Av, Au.
Назовем вышеприведенную схему схемой I. Ее основной дефект — первый порядок аппроксимации конвективной производной ft + ufx. Эта величина (при и > 0) аппроксимируется разностью типа
T lIfUa + t, Xj - f(tn, хт - MT)].
РЕАЛИЗАЦИЯ РАЗНОСТНОЙ СХЕМЫ
341
Значение хп — их не попадает в узел сетки, поэтому в эту точку значение / интерполируется линейно по ближайшим узлам (п, т — 1) и (п, т). Можно заранее предвидеть (см. § 20), что схема I приводит к размазыванию контактного разрыва.
Уточним схему в этом месте, вычисляя f(tn, хт — их) квадратичной интерполяцией значений /" , /„+г Это будет схема II.
Можно и здесь предвидеть неприятности, связанные с нефизическими осцилляциями. Наконец, рассмотрим гибридную схему (схему
Рис. 37
III), в которой используется линейная или квадратичная интерполяция в зависимости от дифференциальных свойств решения в данной точке (см. § 20). Они характеризуются отношением второй и первой разностей, например |/m_, - Ifm + /т+1|/|/т - /т_,1-
На рис. 37 показаны фрагменты Численных решений, полученных по всем трем схемам. Они соответствуют моменту t = 30 (при h — 1), т.е. ударная волна прошла 117 счетных точек, контактный разрыв — 88 точек. Положения точных границ X1, х2, х3, X4 изображены на рис. 37. Обсудим результаты.
Схема I. Дефекты численного решения очевидны: сильно размазанный контактный разрыв, скорость ударной волны занижена примерно на 15 % (3.3 вместо 3.9), заметно размыты и слабые разрывы (границы волны разрежения).
Схема II. Повышение формального порядка аппроксимации привело к существенному ухудшению результатов: графики функций искажены сильными осцилляциями явно нефизического характера.
Схема III (гибридная): Существенное улучшение качества решения очевидно, хотя и не все дефекты численного решения ликвидированы. В частности, контактный разрыв размыт больше, чем хо-
342
ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ ФИЗИКИ
[Ч. II
телось бы. При хг < X < X4 давление рт + и2 = 11.35 ±0.05 (точное значение 11.40), ит = 2.93±0.01 (точное значение 2.92).
В последние годы в вычислительной газовой динамике ведется активная работа по конструированию схем с улучшенными свойствами решений. Целью этой работы является получение таких схем, в которых контактные разрывы размываются как можно меньше и не проявляются нефизические осцилляции. Отличительной чертой таких конструкций является использование различных анализаторов локальной гладкости решения в каждой точке (п, т). В зависимости от показателя гладкости решения используется либо схема первого порядка аппроксимации, либо второго, либо некоторая промежуточная («гибрид» схем разного порядка аппроксимации). О качестве схемы судят по качеству решения задачи о распаде разрыва в начальных данных и других задач-тестов.
§ 23. Приближенное решение двумерных задач газовой динамики
Прикладные задачи газовой динамики, как правило, не допускают явных решений, поэтому важное значение имеют методы приближенного решения. В настоящее время ведется интенсивная разработка таких методов. Их создано уже достаточно много, тем не менее работа продолжается. Это объясняется тем, что одни и те же уравнения газовой динамики описывают (в зависимости от тех или иных краевых условий, значений входящих в уравнения физических постоянных) качественно разные явления. Они часто очень сложны, и эффективный метод решения должен учитывать характерные особенности подлежащего расчету явления. Именно стремлением учесть специфику явления при конструировании расчетной схемы определяется содержание научной работы в области численных методов газовой динамики.
