Введение в вычислительную физику - Федоренко Р.П.
ISBN 5-7417-0002-0
Скачать (прямая ссылка):
Вторая часть границы Г2 вводится искусственно. По существу задача ставится в неограниченной плоскости, но реализация расчетных схем неизбежно требует ограничить область. Никаких «естественных», точных граничных условий на Г2 нет. Вычислители стараются отнести границу Г2 подальше от тела, чтобы искусственные граничные условия мало влияли на картину течения вблизи тела. Этот факт контролируется численными методами. Решив задачу один раз, повторяют расчет, отодвинув границу. Если основные интересующие нас характеристики изменились не очень сильно, считают их достаточно достоверными, несмотря на искусственность математической задачи.
Задачи, в которых удобны координаты Лагранжа. Типичный пример такой задачи — задача, связанная с проблемой лазерного термояда. Напомним в общих чертах суть дела. Сферическая мишень, состоящая из нескольких сферических слоев, выполненных
348
ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ ФИЗИКИ
[Ч. II
из разных веществ, подвергается мощному кратковременному облучению со всех сторон (рис. 39). На поверхности мишени быстро создается высокая температура и, следовательно, высокое давление, сжимающее мишень. Процесс носит сложный характер. Высокое давление на границе порождает тепловую и, возможно, ударную волны, сходящиеся к центру. В то же время поверхностные слои вещества начинают разлетаться от центра — идет так называемая волна разрежения. Будет ли в результате достигнут желаемый результат (создание в центре «термоядерных параметров», т.е. некоторой области с очень высокой температурой и достаточной плотностью), — на этот вопрос должен дать ответ расчет.
Для нас сейчас важны следующие обстоятельства. Рассматриваемая среда состоит из нескольких областей, в которых физические свойства газа существенно различаются. Рассчитываемый процесс сопровождается сильной деформацией первоначального расположения границ. Большая часть вещества сжимается в очень узкую зону.
Если бы мы пытались решать задачу методом f конечных разностей в эйлеровых координатах,
мы покрыли бы область, первоначально занимаемую газом, какой-то сеткой. В начале процесса в разных зонах имеется достаточно большое число счетных ячеек, что обеспечивает нужную точность разностной аппроксимации. По мере развития явления ситуация меняется. Почти все вещество сосредотачивается в очень узкой области, в которую попадает небольшое Рис. 39 число ячеек сетки, и точность расчета, естест-
венно, становится недопустимо низкой. Если же расчет ведется в лагранжевых координатах, узлы счетной сетки движутся вместе с веществом и число ячеек сетки в каждой зоне остается неизменным, как бы ни сжимались сами области.
Задачи, в которых неудобны как эйлеровы, так и лагранжевы координаты. Эйлеровы координаты оказываются неудобными в таких задачах, где рассматривается среда, состоящая из областей, заполненных веществами с разными физическими свойствами. Если в процессе течения границы таких областей передвигаются на заметные расстояния, т.е. контактная граница проходит последовательно через много счетных ячеек, происходит чисто вычислительное «размазывание» границы. Если не вводить в расчет эту границу явно (в виде отдельного математического объекта), трудно указать, где имеется вещество одного типа, а где — другого.
Приведем примеры содержательных задач, в которых нас как раз интересует достаточно точная картина эволюции контактных границ и в которых эти границы заметно перемещаются в пространстве.
§23]
РЕШЕНИЕ ДВУМЕРНЫХ ЗАДАЧ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ
349
Задача о волнах на поверхности. Рассмотрим течение, возникающее вследствие неустойчивости тангенциального разрыва. Пусть при t = 0 линия у = 0 является линией разрыва в начальных данных: при у < 0 заданы постоянные значения v = и = 0, р и р,, при у > 0 — значения у = 0, и > 0, р и р2« р, (при у < О — покоящаяся вода, при у>0 — воздух с горизонтальным «ветром»). Такое течение является стационарным решением уравнений газовой динамики («чистый» тангенциальный разрыв). Ho если поверхность раздела сред немного возмутить, разовьется сложное течение с сильной деформацией поверхности раздела. Лагранжевы координаты здесь неудобны: отображение (t, х, у)*=(*, %, т]) разрывно.
Задача о дифракции сильной ударной волны. Рассмотрим течение, особенности которого поясняет рис 40. По Г-образному каналу, заполненному газом, движется очень сильная ударная волна. В некоторый момент она выходит на границу твердого тела (заштрихованного на рис. 40а), возникает сложное течение, основными объектами которого являются прошедшая и отраженная ударные волны в газе, ударная волна в твердом теле. При этом возникает существенное искажение первоначальной контактной границы, связанное с течением типа мощной струи (рис. 40б).
Расчет подобных течений в координатах Эйлера затруднен тем, что определяющую роль в развитии явления играет именно форма поверхности, разделяющей разные газы. В эйлеровой системе эта поверхность «теряется». Трудности расчета в лагранжевых переменных связаны с существенными искажениями первоначальной геометрии лагранжевой сетки при расчете течений с сильными деформациями. Дело в том, что в таких течениях происходит, так сказать, перемешивание вещества. Частицы газа, бывшие в начале процесса близкими друг к другу, стечением времени расходятся на большие расстояния. Наоборот, далекие вначале частицы газа могут сблизиться. Физически на движение частицы оказывают влияние лишь те частицы газа, которые в данный момент непосредственно примыкают к ней. (Этот факт связан с тем, что уравнения газовой динамики — это дифференциальные уравнения в частных производных.)
