Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Федоренко Р.П. -> "Введение в вычислительную физику" -> 139

Введение в вычислительную физику - Федоренко Р.П.

Федоренко Р.П. Введение в вычислительную физику — М.: Физ-тех, 1994. — 528 c.
ISBN 5-7417-0002-0
Скачать (прямая ссылка): vvedenievvichesleniyah1994.djvu
Предыдущая << 1 .. 133 134 135 136 137 138 < 139 > 140 141 142 143 144 145 .. 210 >> Следующая


а а

что совпадает с (19).

Основные недостатки РІС-метода. Укажем два момента, с которыми связана критика метода. Первый момент — дискретность плотности. В вышеописанной схеме, если имеется, допустим, в среднем по десять частиц на ячейку (это еще очень хорошо, часто их
РЕШЕНИЕ ДВУМЕРНЫХ ЗАДАЧ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ

361

меньше), плотность может принимать небольшое число дискретных значений. Особенно сильно это сказывается в областях разрежения, где плотность мала (по сравнению с первоначальной, например), т.е. на ячейку в среднем может приходиться одна-две частицы. В этом случае небольшое изменение положения частицы, находящейся близко около границы ячейки, приводит к ее переходу в другую ячейку. Плотность в соседних ячейках резко изменяется, что обычно приводит к соответствующему изменению давления. Возникает градиент давления, меняющий скорость, частица стремится вернуться назад и т.д. Так возникают колебания положений частицы, имеющие явно нефизический характер. Именно дефекты такого рода в первую очередь бросаются в глаза при анализе полученных Р1С-ме-тодом приближенных решений.

Второй тонкий момент РІС-метода — реализация краевых условий. Здесь осложнения связаны с тем, что на каждом из этапов используется искаженная система уравнений. В частности, каждая из неполных систем уравнений имеет свою систему характеристик. Точнее, в двумерном случае надо говорить о характеристических конусах. Полная система уравнений имеет один вырожденный конус —линию с направлением dt: dx : dy = 1 : и : v и наклонный звуковой конус, осью которого является вышеуказанная энтропийная характеристика, а раствором — скорость звука с. В соответствии с наклоном этих конусов относительно границы требуется на ней поставить то или иное число краевых условий. Неполные системы имеют иную картину характеристик. Так, система первого этапа (с исключенным переносом) имеет вертикальную энтропийную характеристику dt: dx: dy = 1:0:0 и звуковой конус вокруг нее. Система второго этапа имеет тройную вырожденную характеристику с направлением dt: dx : dy = 1 : и : v.

Таким образом, может оказаться, что на разных этапах стандартного шага по времени система дифференциальных уравнений на границе требует своего числа краевых условий, не совпадающего с тем, которое задано исходной постановкой задачи. Следует подчеркнуть, что реализация краевых условий — один из деликатных моментов схем расщепления, еще не получивший должной методологической разработки. В принципе, можно использовать процедуру исключения промежуточных (с тильдой) величин и получать разностные уравнения в терминах только величин л-го и (п + 1)-го слоев. Можно ожидать, что это будет какая-то относительно стандартная схема, в которой можно будет так или иначе разобраться.

К сожалению, дело не так просто. Процедура исключения величин с тильдой приводит к «расползанию» шаблона. Аппроксимация входящих в уравнения газодинамики первых пространственных про,-изводных станет многоточечной, и такие разностные уравнения требуют значительно большего числа краевых условий, чем в исходной постановке задачи. Эти дополнительные краевые условия должны
362

ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ ФИЗИКИ

[Ч. II

быть определенным образом согласованы с уравнениями, чтобы не «подменить» настоящих краевых условий какими-то неявными. Вопрос еще более осложняется в приграничных узлах, когда начинают работать нестандартные аппроксимации. Реализация переноса с помощью частиц, разумеется, еще больше запутывает ситуацию. По этой причине мы воздержимся от изложения реализации краевых условий в РІС-методе. Здесь нет еще полной ясности, и тем, кто этим интересуется, придется обратиться к специальной литературе.

Выше мы нигде не включали в формулы искусственной вязкости. Вопрос о том, как обобщить, например, вязкость фон-Неймана, не так-то прост. Один из возможных рецептов состоит в том, что вязкость включается только на первом этапе, причем в членах рх, (ри)х к р

добавляется «вязкость по х», т.е. величина, пропорциональная (их)2. Такой способ удобен тем, что их естественно вычисляется именно в нужных точках: (Ux)i^li2t у = (ui+l j — Ui у)/h. Точно так же в членах ру, (pv)у добавляется «вязкость по у», пропорциональная (vy)2.

Корректнее добавить к р вязкую компоненту q = zd(d— |d|), где d — некоторая аппроксимация дивергенции скорости их + vy. При использовании такой вязкости в уравнениях в форме Лагранжа вычислители сталкиваются с неприятным эффектом: вязкость равна нулю при деформациях счетных ячеек, сохраняющих площадь. Развитие таких деформаций приводит иногда к потере свойства выпуклости ячейки и к еще более неприятному «выворачиванию» ячейки, когда противоположные стороны квадратной в лагранжевых переменных ячейки в эйлеровых (т.е. в геометрических) переменных пересекаются.

Метод крупных частиц. Метод аппроксимации уравнений газовой динамики, описываемый ниже, часто трактуют как некоторое развитие PIC-метода, в котором исключены частицы и устранен один из главных дефектов — дискретность возможных значений плотности. Хотя, как будет показано, в методе крупных частиц действительно используется одна из существенных деталей Р1С-мето-да — расщепление уравнений газовой динамики «по физическим процессам», суть дела все-таки в другом. Метод крупных частиц ориентирован совсем на другой класс газодинамических течений. Это в основном задачи обтекания тел потоком однородного газа, в которых нет проблемы контактных границ, сильно деформирующихся в процессе развития течения. Поэтому вся вычислительная схема носит иной характер: никаких частиц в ней нет. Схема строится достаточно традиционным способом с весьма прозрачными и наглядными рецептами замены производных конечными разностями. Слово «частицы» в названии метода отражает лишь историю возникновения расчетной схемы.
Предыдущая << 1 .. 133 134 135 136 137 138 < 139 > 140 141 142 143 144 145 .. 210 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed