Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Федоренко Р.П. -> "Введение в вычислительную физику" -> 129

Введение в вычислительную физику - Федоренко Р.П.

Федоренко Р.П. Введение в вычислительную физику — М.: Физ-тех, 1994. — 528 c.
ISBN 5-7417-0002-0
Скачать (прямая ссылка): vvedenievvichesleniyah1994.djvu
Предыдущая << 1 .. 123 124 125 126 127 128 < 129 > 130 131 132 133 134 135 .. 210 >> Следующая


Рассмотрим уравнения (2) для и1п. Они записываются для m = 1,2, ...,Af-1, т.е. в системе пока не хватает двух уравнений. Представим эти уравнения в общей форме:

(Um — I’ Um’ Um +1’ Pm + lll’ Ptn-Ill) = ^

(величины Mm-D ит+1 ВОШЛИ B U через формулы ДЛЯ Qm-Iji, Qm+цг)- Это пока предварительная формула.

Уравнение СОСТОЯНИЯ позволяет ИСКЛЮЧИТЬ Рт_Ц2 через Тт_112, И Vm_l/2, которое, в свою очередь, исключается через ит_1, ит (по формуле (10)). Аналогичным образом Рт + 1!2 исключается через

+1/2- ит> ит+г Лепсо проверить (и это нужно сделать обязатель-но), что при т = I, M — 1 мы не выходим за пределы действия формулы (10).

Заметим еще, что упомянутое «исключение» не следует трактовать буквально как подстановку в конкретные формулы вместо аргументов соответствующих, часто громоздких, формул. Современ-
§22]

РЕАЛИЗАЦИЯ РАЗНОСТНОЙ СХЕМЫ

335

ная техника программирования позволяет оперировать с описаниями таких сложных функциональных зависимостей в виде суперпозиции относительно простых.

Итак, запишем стандартные уравнения для ит в виде

Um(Uni-V Um’ Um +1’ -^m-1/2’ ^m + l/2) = »t= 1, 2, ..., M — 1.

Уравнение для заданного и0 представим в общей форме, позволяющей использовать схему вычислений и для иных краевых условий, например U0(u0, M1, T112) = 0.

Наконец, уравнение для им можно получить, полагая <7м+1/2 = 0. Это по существу есть дополнительное краевое условие. Необходимость в нем возникает из-за введения искусственной вязкости. Она не является физически обоснованным фактором, но проводит к повышению порядка дифференцирования по х (член qx, грубо говоря, аналогичен члену ихх). Поэтому первичная (физическая) постановка задачи не содержит требуемого краевого условия и оно вводится искусственно. Конечно, эта «произвольная» операция требует осторожности: она не должна оказывать заметного влияния на численное решение. В данном случае, поскольку q есть величина 0(h2), условие qM+1/2 = 0 достаточно естественно.

Таким образом, уравнение (2) для им можно представить в виде

Um(um-v uM' Pm- 1/2’ Рм+иг) = 0-

Учитывая, что Рм+т задано краевым условием, запишем его в окончательной форме:

Um(um-v uM' Tм-1/2> Т'м+і/г) =0

(TM+lj2 добавлено «для общности»). Теперь все значения ит обеспечены «своими» уравнениями.

Перейдем к уравнениям для Т:

P _Prt

*т+1/2 т+1/2

+ (р + 5)т+1/2 7 т - гт+1/2 ¦¦

т+1/2

^m+1/2

т ______т т — T

1 m+3/2 m+1/2 - Jm+l/2 1 т-1/2

гт + 1 h

т+1

Эти уравнения можно использовать при т=1,2, M — 1, т.е. в системе пока не хватает двух уравнений. Исключая ет+1/2 через Тт+1/г, wm+1/2 (уравнение состояния) и Vm+Ц2 через ит, ит+1, придадим уравнениям форму

^m +1/2(^/11-1/2' ^m + 1/2’ ^т + 3/2’ Um’ Mm + l)
336

ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ ФИЗИКИ

[Ч. и

Уравнение для Txi2 получаем, используя краевое условие (задан поток у.Тх = Q при х = 0):

(и0 включено тоже «для общности»). Включив в уравнение для

чениям ит, а не мт), получим уравнение Emjrlj2 = 0 точно такой же структуры.

Уравнение для Тм+1/2 в рассматриваемом случае тривиально — эта величина просто задана. Запишем это уравнение в общей форме, имея в виду и более сложные краевые условия:

Подведем итог, выписав все уравнения, которые предстоит решать:

где т = 1,2, ..., M — 1. Перейдем к алгоритму их решения.

Метод раздельной ^прогонки. В этом методе сначала величины T фиксируются как T (т.е. как уже найденные приближения к Tn+1), затем решаются уравнения (11) относительно и (линеаризацией по Ньютону). В результате получается линейная система уравнений относительно и, имеющая ту же структуру, т.е. система с трехдиагональной матрицей. Она легко решается методом прогонки (см. § 10). Фиксируя м(,+1\ можно линеаризовать вторую груп- » пу уравнений относительно Т. Линейная система с такой же трехдиагональной матрицей решается прогонкой. Далее эти процедуры t повторяются до достижения требуемой точности.

P __

tW 1/2 Sn+1/2

T

Это уравнение можно представить в виде

^112’ ^3/2’ М0> М1) = 0

ет+1/2 аппроксимационный источник, гт+1/2 (вычисляемый по зна-

(11)

^112^ 112’ -^3/2’ U0’ uI)

^m + l/2(^\n —1/2’ ^« + 1/2. ^"m + 3/2’ ^т’ ^m +1) О2)

+1/2(Tm-1/2’ + 1/2’ им) =
§22]

РЕАЛИЗАЦИЯ РАЗНОСТНОЙ СХЕМЫ

337

Метод векторной прогонки. В методике, которая описывается в этом параграфе, система уравнений на верхнем слое (11), (12) решалась методом векторной прогонки. (Раздельная прогонка была предложена позднее.) В методе векторной прогонки одновременно линеаризуются обе системы уравнений. Эта операция приводит к следующим линейным уравнениям:

^0М0 + AqU1 + Aq12T1I2 = Aq,

-®1/2^\/2 + -®1/2-^3/2 + -®1/22м0 + -®1/2 uI = -®0»

^m1 мт^1 + + ^mwm-H + АтПТт-Ц2 + ^2Гт +1/2 = Лп’

*т\іпТт-ііг + -^1 + 1/2^01 + 1/2 + + 1/2^т+3/2 +

+ -®(п + 1/2Мт + -®т + 1/2Ыт + 1 = ^oi+ 1/2’

uM-I + А%им + A^2Tм_ 1/2 + А^ТМ +1/2 = vtM,

•®л/+1/2^М-1/2 + ^M + UtFM + 1/2 + ^M+ 112йM ~ ^ M+ 112'

где т = 1, 2, ..., M — 1.

Вводя вектор Zm = {мт, Тт+1/2}, запишем эти уравнения в матричной форме (m = 1, 2, ..., M — 1):
Предыдущая << 1 .. 123 124 125 126 127 128 < 129 > 130 131 132 133 134 135 .. 210 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed