Введение в вычислительную физику - Федоренко Р.П.
ISBN 5-7417-0002-0
Скачать (прямая ссылка):
Уравнение Pt = O аппроксимируется просто:
«1 / Ct, /, /
Определяем
PUux і = + PnU^Ii = 0.5(p^j + PlJ+l),
mIj = ImI, і,p p Ij = mIA2.
a
Так как pt = 0, то используется аппроксимация
PwbjTii + iOWi-tf-i/ij)=0. <12>
PuiiT^i + I OW ~П. j-ті-°- <13>
Из этих уравнений в явном виде находим Ui j, Vij.
Уравнение изменения энергии аппроксимируется следующим образом:
W‘’ I І -L- _L (ф ,.п + 112 jJi ..п + 112 \
г h '"i+uxj t+uxj Pi-uxjui-mj> ^
4- JL (туч .,п+112 _ пп .,п+112 \ —Л ('14')
h ''Pi,j + H2viJ + H2 PiJ-ll2viJ-U2) — U-
Некоторые величины в этой формуле требуют пояснения:
“Ulixj = (1/4)(?, у + uIj + ui + itj + uU j)-,
аналогично вычисляется уп+/Д12.
§ 23]
РЕШЕНИЕ ДВУМЕРНЫХ ЗАДАЧ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ
355
Сложнее обстоит дело С величиной W1^ j. Напомним, что плотность полной энергии w = р [е + (и2 + г>2)/2]. Величина A2W имеет смысл энергии в ячейке A х А:
h2w1 j = j h2pE + h2 р
И2+ V2
-'и
Здесь Zz2P — масса ячейки, т.е. Mni j = ^ Mna^i ]. Итак,
Вычислим (h2pE) Ij — полную внутреннюю энергию в ячейке. Нам известны массы М" г j И удельные внутренние энергии ; j веществ типа а. Естественно положить
(h2PE)lj = lMlijEli,r
а
Итак, вычислены и, следовательно, Wi j по формуле (14). Теперь из выражения для полной энергии ячейки
A2Wij = A2Plj Д, + A2Pij (15)
можно найти величину Ei у-. Ho это еще не все: ведь основными счетными величинами ЯВЛЯЮТСЯ внутренние энергии Ea г j веществ разного типа. Введем изменения AEa удельной внутренней энергии за шаг (точнее, за первый этап шага) по каждому веществу отдельно. Учитывая массу каждого вещества Ma, запишем полное приращение внутренней энергии в ячейке через AEa и приравняем его известному нам полному приращению:
I (Mnaitj^Eatij) = MIjCeu- EIj). (16)
а
Чтобы «поделить» полное приращение между разными веществами, нужно принять какие-то правдоподобные физические гипотезы. Например, можно считать, что все AEa ; . одинаковы. Следовательно, AEa^iJ = E1J - Eni у Теперь можно вычислить величины
Еа, u~ eX i,j + ^ea, ij• Тем самым первый этап шага интегрирования завершен.
12 — 1833
356
ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ ФИЗИКИ
[Ч. II
Численная реализация второго этапа. На втором этапе происходит учет перемещения частиц и величины с тильдой переходят в величины на (п + 1)-м слое по времени.
1. Движение частиц. Прежде всего вычисляются новые положения частиц. Их координаты удовлетворяют уравнениям
Xt = UV, Xt, Yk), Yt = v(t,Xt,Yk).
Расчеты ведутся по очевидным разностным аналогам этих уравнений: ху1 = Xl + xUk, Yl+1-= Yl+ TVt.
Скорости Uk, Vk определяются некоторой интерполяцией величин
MB ячейках, окружающих точку (XI, Yl). Один из вопросов, который здесь возникает: почему используется интерполяция величин й, V, а не ип, Vn или (и + ип)/2, (v + vn)/2? Ответ простой: использовавшие этот метод специалисты утверждают, что лучшие результаты дает именно интерполяция й, v, ссылаясь на опыт решения задач, в которых точность приближенного решения может быть проконтролирована.
Итак, мы знаем новые положения частиц X^+1, Yl+1. Теперь можно перейти к учету изменения основных физических величин за счет переноса.
2. Перенос массы и вычисление M"+1/- Зная старые положения частиц Xnt, Yk и их новые положения XnJi, Yl+1, для каждой ячейки можно выделить три группы частиц.
а) Частицы, оставшиеся в пределах ячейки:
{XI, YD Є Gu, {*»+>, УГ1} Є Ci j.
Эти частицы на данном шаге не вносят изменений в массу, импульс и энергию ячейки Ci J.
б) Частицы, покинувшие ячейку Cj - и перешедшие в соседние:
{ХІ,У-}ЄСи, {хпк+1, Ynt+i} ? Ci j.
в) Частицы, пришедшие в C1 . из соседних ячеек:
{XI, YD^Cij, {Xl+l, У? + 1} Є CiJ.
В расчете используется ограничение шага по t типа тVm2 + v2 < h, т.е. за один шаг частица может переместиться только в соседнюю ячейку. Каждая к-я частица, перешедшая на данном шаге из одной ячейки в соседнюю, переносит с собой свою массу тк. Таким образом, величины M"*1 j считаются по очевидным формулам: нужно
§23]
РЕШЕНИЕ ДВУМЕРНЫХ ЗАДАЧ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ
357
взять все частицы типа а, для которых {X?+1, У?+1} Є Ci j, и просуммировать их массы.
3. Перенос импульса. Промежуточное состояние (найденное на первом этапе расчета и отмеченное тильдой) характеризуется относящимися к каждой ячейке Ci j значениями импульса и полной энергии. Компоненты полного импульса могут быть вычислены по формулам MnijUi j, MIjVi j. Каждая к-я частица, покинувшая ячейку Ci J, уносит С собой импульс THlcUi J, TnkVl J. (Впрочем, при желании импульсы можно вычислять и по формулам mkUк, mkVk.)
Вычислим изменение импульса в ячейке Ci } за один шаг:
mIVuU1 = mIjuU - I* ткии + E2 mkuvjn
г <17>
Mnyvny=MnjVu-2 «Лу+ 2 WtlJl-
Здесь ^ означает суммирование по к, соответствующим частицам,
2
покинувшим ячейку Ci J-, ^ соответствует частицам, пришедшим в
Ci j из соседних Ci, j,. Из (17) вычисляются и]+1, vnjl, так как все остальные величины известны.
