Введение в вычислительную физику - Федоренко Р.П.
ISBN 5-7417-0002-0
Скачать (прямая ссылка):
Если полагаться на простейшие разностные схемы, мощность существующих ЭВМ окажется явно недостаточной для решения задач, которые выдвигаются современной техникой и достаточно успешно решаются специализированными методами. При изучении различных схем решения уравнений газовой динамики нужно прежде всего четко представлять себе, каков класс задач, в которых эффективен именно тот, а не другой из многих известных методов. Эту сторону вопроса мы постараемся разъяснить в процессе изложения.
Формулировка задачи газовой динамики. В дальнейшем мы будем иметь дело с так называемыми двумерными задачами, т.е. с задачами, в которых искомые функции зависят от времени t и двух пространственных координат х, у. Конечно, реальные задачи газовой
РЕШЕНИЕ ДВУМЕРНЫХ ЗАДАЧ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ
343
динамики трехмерны; мы ограничимся двумерными ради простоты изложения. Основные идеи построения методов можно объяснить уже в двумерном случае. Переход к трехмерному случаю вносит осложнения, в основном, технического характера (в то же время переход от одномерного случая к двумерному вносит ряд принципиальных осложнений). Другая причина состоит в том, что большая часть современных расчетов в газовой динамике — пока чтр двумерные; освоение массовых трехмерных расчетов по существу только начинается.
Итак, мы имеем дело с некоторой областью пространства D, разные части которой заполнены разными газами. Заметим, что термин «газ» не следует понимать слишком узко. В определенных условиях (при высоких температурах) металлы ведут себя, как газы, и описываются теми же уравнениями газовой динамики. Короче, мы имеем дело со сплошной средой, состояние которой описывается следующими функциями: компоненты скорости u(t, х, у) и v(t, X, у), плотность р(t, X, у), давление p(t, х, у), удельная внутренняя энергия e(t, х, у). Они удовлетворяют уравнениям газовой динамики. Существуют разные формы этих уравнений, удобные в тех или иных ситуациях. Начнем с уравнений в форме Эйлера:
Система (1) замыкается конечным соотношением — уравнением состояния, связывающим термодинамические характеристики среды р, р, е в каждой точке (t, х, у). Уравнение состояния используется в виде е = Е(р, р) или р=Р(е, р), где Е, P — известные функции. Например, идеальный газ определяется соотношением Е(р, р) = (1/(7 — I))р/р, где 7 — постоянная, характеризующая данную среду (разные газы имеют разные значения
7). Уравнение состояния может иметь и более сложную форму. Разумеется, уравнения (1) дополняются начальными данными, заданными функциями и, v, р, р(0, х, у), и краевыми условиями на границе D. Эти вопросы мы пока не рассматриваем.
Обратим внимание на то, что во всех уравнениях присутствует характерный оператор d/dt + ид/дх + vd/dy. Он называется субстанциальной производной и обозначается d/dt в связи со следующей важной физической интерпретацией. Пусть фиксированная («окрашенная») частица газа в момент времени t = 0 находится в точке (X0, Y0). В по-
(1)
344
ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ ФИЗИКИ
[Ч. II
следующие моменты времени она будет находится в точках (X(t), Y(t)). Уравнения движения выделенной частицы суть
X=u(t,X(t),Y(t)), Y=v(t,X(t),Y(t)). (2)
Рассмотрим функцию f(t, х, у). На данной траектории (X(t), Y(t)) она является функцией только от V. f(t,X(t), Y(t)). Вычислим ее производную по времени:
% =ft + fxX + fyY = ft+ufx + vfy.
Таким образом, субстанциальная производная — это производная по t вдоль траектории частицы.
Уравнения газовой динамики в дивергентной форме. Простыми преобразованиями уравнения (1) можно привести к важной в приложениях дивергентной форме:
Jf(Pu) +~к (pu2 + p) + TZ (Puv) = 0>
ду
(Pv) + + Tj (рг<2 + Р) = °>
Ti р + h (Pu) + її (ру)=0)
(3)
_а_
dt
рИ
дх
P+ р| Є+ U-
И”
р + р\е + 'Ц^ } = 0..
Эти уравнения могут быть записаны в компактной форме:
(4)
dW , 9Й , dQ ______________л
dt дх ду — ’
которая часто служит исходном при построении разностных методов, так как из нее непосредственно вытекают важные, имеющие фундаментальное физическое значение, соотношения (законы сохранения).
Интегрируя (4) по параллелепипеду [ґ0, ґ,] X \а, A] X [b, В], получаем
*1 AB
5 J S (Wt +Rx +Qy) dtdxdy =
t0 а Ь
AB tI В tI А
= \\ w dxdy\^ +\ \ Rdy dt\*+\ \ Qdtdx \ % = (5)
а b
Ь
§23]
РЕШЕНИЕ ДВУМЕРНЫХ ЗАДАЧ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ
345
А В
Соотношение (5) имеет следующий смысл: W dx dy — общее
а Ь
количество величины W (компоненты импульса, массы или полной энергии) в объеме [а, А] х [6, В\, JJ^ dt dy, JJ Qdt dy, — потоки за время I1 — I0 через границу этого объема. Таким образом, изменение в данном объеме количества W связано с перетеканием его через границу этого объема.
Решения уравнений газовой динамики нужно искать среди «обобщенных решений», т.е. среди функций, удовлетворяющих тождеству (5) для всех параллелепипедов. Обратим внимание на то, что проверка тождества (5) не требует дифференцирования функций и, у, р, р и может быть осуществлена даже при наличии разрывов в этих функциях. Действительно, решения газодинамических задач могут содержать поверхности, на которых рвутся функции и, V, р, р.
