Введение в вычислительную физику - Федоренко Р.П.
ISBN 5-7417-0002-0
Скачать (прямая ссылка):
В двумерных задачах имеются те же два основных типа разрывов: ударные волны и контактные разрывы. Соотношения на разрывах имеют ту же форму, что и в одномерных задачах, если использовать систему координат, в которой поверхность разрыва ортогональна (в рассматриваемой точке) оси х, а и и v — проекции скорости на оси локальной системы координат. На контактном разрыве непрерывны р и и (нормальная к разрыву компонента скорости); р и V (касательная к разрыву компонента скорости) могут иметь произвольный разрыв. Если v рвется, разрыв называют тангенциальным (кстати, такое течение неустойчиво). На ударной волне и, р, р по разные стороны от разрыва связаны одномерными соотношениями Гюгонио. Касательная к разрыву компонента скорости v на ударной волне непрерывна. Однако в двумерных задачах линии разрывов в плоскости t = const могут иметь угловые точки.
Уравнения газовой динамики в форме Лагранжа. Другая форма уравнений газовой динамики связана с точкой зрения Лагранжа. Она отличается от рассмотренной выше тем, что искомые функции и, V, р, е считаются не функциями декартовых координат t, х, у, а функциями лагранжевых переменных t, Ц, г|, где t — то же время, что и в эйлеровой форме, а координаты %, т] выбираются так, что они остаются постоянными вдоль каждой траектории системы (2).
Введем функции X(t, I, т|), Y(t, %, г|), являющиеся эйлеровыми координатами частицы (%, г|). Они удовлетворяют уравнениям
Xt(t, %, ri) = u(t, X(t, %, Ti), Y(t, %, ті)),
(о)
^ tI) = v(*> x(t, %, Л). Y{t, %, г])).
346
ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ ФИЗИКИ
[Ч. II
К ним следует присоединить начальные данные. Обычно берут в качестве лагранжевых координат частицы ее декартовы координаты в момент времени t = О, т.е.
*(0, л) = У(0, г,) = Ti,
HO возможны и другие способы. Разумеется, u(t, х, у), v(t, X, у) в (6) считаются известными решениями уравнений газовой динамики. Перейдем к выводу уравнений газовой динамики в форме Лагранжа, используя уравнения в форме Эйлера. Пусть известна функция эйлеровых координат f(t, х, у), ах, у известны как функции лагранжевых координат f, %, г). Тем самым мы имеем / как функцию лагранжевых координат. Именно эта операция превращает функции
и, V, р, e(t, х, у) (решение уравнений газовой динамики в эйлеровых координатах) в функции й, v, р, e(t, ?, г|), которые естественно считать решениями уравнений в лагранжевых координатах. Итак,
f(t, I, г]) s f(t, X(t, I, Ti), Y(t, I, T])).
Вычислим производную этой функции по t:
ft = ft + f*Xt + fyYt = ft + «fX + Vfy
Такие выражения (субстанциальные производные) входят во все уравнения газовой динамики, которые можно переписать в форме
"< + P-iPx = O. ^ + P-1Py = O. (7)
Pt+ PCux+ Vy)= 0, et + p~lp(ux + vy)= 0.
Уравнения (7) содержат производные по х, у, а не по г|, как хотелось бы, чтобы иметь замкнутую систему уравнений в переменных t, г). Система уравнений (7) дополняется уравнениями (6) для X ш Y.
Теперь осталось выписать выражения для рх, ру, йх, Vy через производные р, й, у по т). Продифференцируем / по г):
А = + /л* h = SxxXl + /Л-
Эту систему мы рассматриваем как систему линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных fх, / . Решая ее, получаем
/'-(hr,-?JiWXiY,-XJ ().
>, = - W/(xtr, - XJi).
Формулы (8) определяют правила вычисления входящих в (7) производных по х, у через производные по %, г]. Таким образом, уравнения в форме Лагранжа — это совокупность уравнений (6), (7) и формул (8).
решении: двумерных задач газовой динамики
347
Задачи, в которых удобны координаты Эйлера. Рассмотрим характерную прикладную задачу, в которой удобна и естественна эйлерова форма уравнений. Это — важная в разных областях прикладной аэродинамики задача обтекания. Пусть имеется некоторое тело, обтекаемое потоком газа. Нас интересует картина течения газа около тела и значения основных газодинамических переменных, так как ими определяются такие характеристики, как сопротивление, подъемная сила, температура, давление на поверхности тела и т.п.
Систему координат обычно выбирают связанную с телом. В этой задаче интересующие нас события разворачиваются в некоторой фиксированной в геометрическом пространстве области (рис. 38). Лагранжево представление здесь явно неудобно. Если мы выделим некоторую область в лагранжевых координатах, то она вместе с потоком газа пройдет мимо тела, удалится от него, и что в ней будет происходить, уже не очень интересно.
Кроме задач, связанных с расчетом, например, аэродинамических характеристик крыльев, к этому классу относятся задачи расчета течений в соплах, задачи Рис. 38
внешней баллистики, в том числе задачи о
спуске космических кораблей, и т.п. Отметим, что в этих задачах есть проблема постановки краевых условий. Граница расчетной области состоит из двух частей. Первая часть границы есть граница тела T1. Это — естественная граница, и на ней ставится физически очевидное условие непротекания: нормальная компонента скорости потока равна нулю, т.е. ипх + vny = 0, где пх, пу — вектор нормали к границе T1.