Введение в вычислительную физику - Федоренко Р.П.
ISBN 5-7417-0002-0
Скачать (прямая ссылка):
352
ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ ФИЗИКИ
[Ч. II
РІС-метод применяется для расчета быстрых процессов, в которых диффузия не играет заметной роли. Поэтому перемешивания вещества не происходит. Считается, что на протяжении всего времени расчета сохраняются четкие границы, разделяющие разные вещества. Ho форма этих границ претерпевает существенные изменения. Может измениться даже их «топология»: если при t — 0 какое-то вещество заполняло связную область, в дальнейшем оно может распасться на отдельные части, разделяемые веществом другого типа. Аккуратный расчет таких течений требует знания в каждый момент времени положения контактных границ. Это очень сложная вычислительная задача, и РІС-метод является попыткой решить ее относительно простыми средствами. Разумеется, эта простота оплачивается большим объемом памяти и машинных операций. Мы не будем обсуждать важных вопросов, связанных с граничными условиями, но скажем несколько слов о начальных данных.
Физическая постановка задачи обычно связана с заданием начальных данных в виде функций и°(х, у), »°(х, у), р°(х, у), е°(х, у) и границ, разделяющих разные вещества. В начальный момент времени эти границы, как правило, имеют простую геометрическую форму. Начальные данные для расчета и° /г v° f связаны
с и°(х, у), v°(x, у) — это просто значения в центрах ячеек. Если ячейка (г,/) целиком заполнена (допустим, веществом а = 1), то E^ в ней очевидным образом связано с е°(х, у) в центре. Остальные значения E^ — 0. Если через ячейку проходит граница раздела двух веществ (т.е. в ней есть вещества двух типов), то и значения E0 . j задаются равными значениям в начальных данных (с точностью до шага сетки h). Напомним, что E — это удельная энергия вещества, а не количество энергии данного вещества в ячейке.
Начальные положения частиц (X0k, Y0k) задаются так, что, например, в каждую ячейку попадает равное число частиц (впрочем, это не обязательно, иногда полезно увеличить число частиц в тех ячейках, в которых ожидаются наиболее сложные события). Распределение тк должно быть определенным образом согласовано с
р°(х, у). Предполагается, что величина М" согласована с положениями частиц, а именно:
mIu = I т» к- {Xnv Y$ GCij, а=ак. (9)
В дальнейшем нам часто придется иметь дело с суммами подобного рода.
Условный смысл суммы в (9) — это суммирование величин тк для частиц с номером к, координаты которых (Xnk, Yk) в момент tn
РЕШЕНИЕ ДВУМЕРНЫХ ЗАДАЧ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ
353
попали в ячейку (г, у) и которые имеют тип ак = а. Если известно
начальное распределение p0(x, у), то известна масса вещества в каждой ячейке. И если через ячейку проходит контактная граница, то известно, сколько вещества M0a . . каждого типа находится в данной ячейке (г, у). Задав положения частиц, нужно приписать им массы тк так, чтобы выполнялось соотношение (9) при п — 0. Оно будет, как мы увидим, выполняться и в дальнейшем.
Уравнения (3) описывают изменения основных физических величин (масса, импульс, полная энергия) за счет процессов двух типов — работы сил давления и перетекания физических величин со скоростью потока (гг, v). В РІС-методе переход за малое время т от величин на временном слое п к величинам на слое п + 1 осуществляется в два этапа, на каждом из которых основные физические величины меняются за счет процесса только одного типа.
I. На первом этапе учитываются изменения основных величин только за счет работы сил давления (процессы перетекания пока исключены). Разностные формулы на этом этапе аппроксимируют (в привычном, наглядном смысле этого слова) следующие уравнения:
Pt = °, (Р"), + /^ = 0» (Ю)
(pv)t + Py = 0, wt + (ри)х +(pv)y = 0.
II. На втором этапе используются уравнения, в которых, наоборот, оставлены только процессы перетекания:
P,+ (ри)х + (pv)y = °, (pu)t +(рии)х +(puv)y = 0,
(Р v)t + (Puv)x + (pw)y = 0, wt + (wu)x + (wv)y = 0.
Разностная аппроксимация процессов переноса осуществляется с помощью частиц и имеет, как мы увидим, не очень привычный для метода конечных разностей характер. Скорее, здесь используются методы дискретного моделирования сплошной среды, апеллирующие к основным понятиям механики.
Численная реализация первого этапа. Исходная информация состоит в каждой ячейке (г, у) из величин гг", vn, М", Endi. Расчет начинается с вычисления давления рП .. Если в ячейке имеются частицы нескольких типов, то при расчете давления /^.'используются «физические» соображения о равенстве давлений на границе двух сред.
Введем величины оа — части объема A2 ячейки, занимаемые веществом типа а. Очевидно, ^ Ca = Л2. Зная массу М" вещества типа а, находим его плотность ра = Myca, а зная его внутреннюю
12*
354
ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ ФИЗИКИ
[Ч. II
энергию Ena вычисляем давление ра — Ра(Епо, Mn/с). Приравнивая величины ра друг другу, получаем систему уравнений типа
/>,(??, MnlZal) = Рг{Епг, Mn2Za2) = ...
Здесь число уравнений на единицу меньше числа веществ в ячейке.
Присоединяя к ним уравнение ? Ga = H2, приходим к полной системе уравнений относительно неизвестных aa. Она решается итерационным методом. Заметим, что в распространенном случае, когда уравнение состояния имеет вид р— fa(e)p, можно выписать явное решение. После того как сга найдены, определяется величина р, которую мы обозначим pj ., приписав ее центру ячейки. Теперь у нас есть все для того, чтобы рассчитать первый этап по стандартным разностным уравнениям, аппроксимирующим уравнения (10). Результатом будут величины U1J, ViJ, Ma t j, Ea^ i j.
