Введение в вычислительную физику - Федоренко Р.П.
ISBN 5-7417-0002-0
Скачать (прямая ссылка):
Разностный аналог интегральных уравнений можно получить, суммируя разностные уравнения по прямоугольной (для простоты) области:
M2 Ari-I 2 2
Dtt+1 рП m+1/2 m+1/2 , Qn+\-Q"+[)
T ^m+1/2
xh
т + [12
— 2 ^mZ+l/2^m + l/2 2 ^mVl/2^m + l/2 + 2 2м* + 1Т 2 %*ІТ —
т т п п ^ ^
Значение подобных соотношений обычно обосновывают ссылкой на законы сохранения, разностным аналогом которых они являются. Это, конечно, справедливо, но мы постараемся привести более четкие соображения.
Как уже отмечалось, наиболее важна интегральная форма уравнений для расчета разрывных решений. Рассмотрим (в весьма упрощенной и идеализированной форме) расчет изолированной ударной
OOOOOf
к
AT,
к
Зона волны + 7.6 -5
1+23 -
M1
М2 т
Рис. 35
Рис. 36
волны. Существенным для таких расчетов является определение правильной скорости волны и правильных скачков величин при прохождении фронта волны. Пусть в расчетах получена следующая характерная картина: графики всех величин выглядят примерно так, как это изображено на рис. 35, где они показаны для моментов времени tN , tN .
I 14Z
Отметим основные свойства численного решения: есть некоторые значения U1, V1, ех перед фронтом волны, они постоянны (по т и га) и есть аналогичные величины иг, V1, ег за фронтом волны, они тоже постоянны. Наконец, есть «размазанная» волна, точечный график которой за время от tNi до tN^ просто сместился на несколько узлов. Картина, конечно, идеализирована, но достаточно хорошо отражает свойства численного решения, которое получается по описываемой программе при расчете такого «чистого» течения, как движение первоначально покоящегося газа под действием равномерно движущегося поршня. Преобразуем соотношение (7), используя рис. 36.
§22]
РЕАЛИЗАЦИЯ РАЗНОСТНОЙ СХЕМЫ
329
Запишем разностное интегральное соотношение, учитывая, что на участках 12, 87, 18 величины Pnm+1/2, Q", имеют постоянные значения P2, Q2, а на участках 34, 45, 56 — значения P1, Qv Обозначая T = tN — tN и I12, I23, ... — длины соответствующих участков контура, из (7) получаем
I87P2 + S + l65PI - h2Pl - S Pm'+1/2 - I34P1 + T(Q-Q2) = 0.
76 23
Предполагая, что графики в зонах волн при tN и tN одинаковы,
Т-Є- 2 = 2’ И УЧИТЫВЗЯ> ЧТ0 1!2 + 123 + 134 = 187 + 176 + 165’ 123 = 176<
23 76
имеем
(LZT)(P2-P1)-(Q2-Q1)= 0,
где L = I87- I12 = I34 - I65 — расстояние, пройденное счетной ударной волной, a D = L/T — ее счетная скорость.
Полученные соотношения суть соотношения Гюгонио, связывающие состояния до и после фронта волны и скорость волны. Подчеркнем, что этот результат является следствием не только дивергентной формы разностных уравнений, но и правильного характера численного решения. Последний факт устанавливается экспериментально. Поэтому возникающие при расчетах по некоторым схемам явно нефизические высокочастотные осцилляции с заметной, но не очень большой амплитудой подрывают доверие к расчету, хотя, конечно, они и не являются безусловным признаком его ошибочности. Стремление получить решения, свободные от такого «эстетического» недостатка входит в цели современной практики конструирования разностных схем.
Формула для кинетической энергии. При аппроксимации полной энергии (е + и1/!)тJrlj2 используется линейная интерполяция и1, ХОТЯ В принципе МОЖНО использовать величину (ит + Mm + i)2/4. Это решение оправдывается следующими соображениями. Во-первых, квадрат полусуммы нечувствителен к возмущениям вида (—1)т, т.е. сеточные функции ит и ит + (—1)"* в этом случае имеют одну и ту же кинетическую энергию. Это дает основание ожидать появления в численном решении подобных возмущений, и эксперимент часто подтверждает эти ожидания. Вторая причина предпочесть именно интерполяцию квадрата скорости выяснится ниже.
Полностью консервативные схемы. Кроме классических и теоретически обоснованных обязательных качеств разностной схемы (аппроксимация и устойчивость), в современной практике вырабо-
330
ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ ФИЗИКИ
[Ч. II
тана система дополнительных требований, улучшающих численное решение в тех или иных ситуациях. В первую очередь это относится к ситуациям критического характера, когда искомое решение содержит нарушения гладкости, сосредоточенные в сравнительно узких зонах в плоскости (t, х), причем шаги сетки т, h не могут быть взяты столь малыми, чтобы упомянутые узкие зоны разрешались достаточно большим числом счетных узлов сетки. Дивергентность схемы, роль которой мы выше разъяснили, — это одно из таких дополнительных свойств.
Перейдем к обсуждению Другого свойства, получившего название «полная консервативность». Оно связано с некоторыми деталями аппроксимации уравнения для энергии. Начнем с критики построенной выше аппроксимации (5), основанной на прямом использовании уравнения в дивергентной форме. Уравнение (6) для е аппроксимируется проще и компактнее (выбросим пока теплопроводность, не в ней дело):
Jl +I ,.п+1 п + 1
-+1/2 ^l/2+(p+g)» + l m + 1 m = Q (8)
1 ‘m+1/2
Это уравнение имеет определенное достоинство, хотя мы потеряли дивергентность. В чем же оно?
