Введение в вычислительную физику - Федоренко Р.П.
ISBN 5-7417-0002-0
Скачать (прямая ссылка):
Краевые условия. Они могут иметь различную форму. Ради определенности ограничимся такими: при х = 0 заданы скорость u(t, 0) = u(t) и поток энергии хТх = Q(t)\ при х = X заданы температура T(t, X) и давление p(i, X).
Основные особенности решений. Сложность приближенного решения дифференциальных уравнений определяется прежде всего свойствами гладкости искомых функций. Ниже имеются в виду задачи, решения которых были кусочно-гладкими функциями. Точнее, область счета некоторыми линиями разбивалась на большое число подобластей, в каждой из которых решение было достаточно гладким. Число этих линий и их форма не задавались заранее, они определялись в процессе решения. Линии, на которых нарушалась гладкость решения, являются хорошо известными особенностями решений уравнений газовой динамики и нелинейной теплопроводности. Это ударные волны, границы волн разрежения (линии разрыва производных), фронты тепловых волн и фиксированные в лагранжевых координатах линии разрыва плотности и формул уравнений состояния.
Особенно сложный характер имеет течение в окрестностях точек пересечения линий нарушения гладкости (т.е., например, прохождение ударных и тепловых волн через контактные границы Xp сопровождающиеся «рождением» новых линий нарушения гладкости). Определенные трудности возникают тогда, когда разные подобласти состоят из существенно разных веществ, например если подобласти из очень тяжелых веществ разделяются значительной по эйлеровым размерам областью из очень легкого вещества, имеющей ничтожный
11*
324
ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ ФИЗИКИ
[Ч. II
в массовых координатах размер (такую область условно назовем «вакуумом»).
Сложным является, например, прохождение ударной волны через вакуум. При выходе ударной волны на внутреннюю границу вакуума, она исчезает, сменяясь волной разрежения. Одновременно начинается быстрое движение этой границы вакуума в сторону другой его границы. В какой-то момент эти границы встречаются, происходит «удар», снова рождающий ударную волну.
Интересный класс течений создается в следующей ситуации. На границу холодного покоящегося газа подается мощный поток энергии (задается либо большой поток на одной из границ, либо высокая температура). Возникает характерная картина — прогрев газа в режиме тепловой волны, фронт которой движется с конечной скоростью. Расчет такого режима затруднен тем, что температура существенно негладкая около точки фронта (см. § 21).
Градиент температуры порождает градиент давления, и в дальнейшем возможно образование ударной волны, причем могут осуществиться два разных предельных режима: либо ударная волна обгоняет тепловую, либо ударная волна отстает от тепловой и распространяется как изотермическая по сильно нагретому веществу. Такого рода процессы протекают при облучении сферических мишеней мощным потоком лазерного излучения.
Разностная аппроксимация задачи. Введем основные объекты, появляющиеся при конструировании метода приближенного решения.
Сетка и счетные величины. Интервал [О, AT] покрывается сеткой {хт}"=0, сетка {<п} формируется в процессе решения, так как шаг по времени тп+1/2 выбирается в зависимости от полученного на га-м временном шаге решения. Узлы сетки с координатами {п, т] образуют множество «целых» счетных точек. В них определены «механические» величины Unm и г". Кроме того, вводятся «полуцелые» счетные точки с координатами хт+1/2 = (хт + xm+l)/2, tn. В этих «пол у целых» точках определены «термодинамические» величины 1/2} (т = 0, 1, ..., М). Границы подобластей Xi совпадают с какими-то из «целых» точек х .
Особое положение занимают граничные точки. В точках (0, п) (левая граница), кроме механических величин, могут быть определены некоторые термодинамические, используемые для реализации краевого условия и для нестандартной аппроксимации некоторых уравнений. В точках (M + 1/2, п) (правая граница) могут быть определены механические величины unM+l/2, f д/+1/2» используемые в тех же целях. Мы таких нестандартных счетных точек использовать не будем (нужда в них появляется, например, при иных краевых условиях).
§ 22]
РЕАЛИЗАЦИЯ РАЗНОСТНОЙ СХЕМЫ
325
Разностная аппроксимация в стандартных точках. Сначала опишем стандартные формулы разностной аппроксимации, т.е. те, в которых не используются «термодинамические» величины в граничных узлах. Введем следующие обозначения: йт+1/2 = хт+1 — хт,
— Хт+1/2~ Хт-1/2 ~ ша™ СЄТКИ. ЧИСЛЄННОЄ интегрирование проводим по стандартной для эволюционных задач схеме счета «по слоям». Шаг интегрирования состоит в том, что значения на п-м слое (и, г, Т, v)n уже известны и надо вычислить (п + 1)-й слой (и, г, Т, v)n+l, решая систему уравнений на верхнем слое.
Ради простоты рассмотрим полностью неявную схему, хотя можно использовать и схему, в которой пространственные производные аппроксимируются взвешенной (обычно с весами 0.55 и 0.45) суммой аппроксимаций на верхнем и нижнем слоях. В любом случае приходим к системе нелинейных уравнений относительно неизвестных величин на верхнем слое, которая решается специальным итерационным алгоритмом. Итерации строятся на основе неполного метода Ньютона.
