Введение в вычислительную физику - Федоренко Р.П.
ISBN 5-7417-0002-0
Скачать (прямая ссылка):
а) функция u(t, х) непрерывна, т.е. u(t, — 0) = u{t, + 0);
б) непрерывен тепловой ПОТОК, т.е. Y.vux{t, — 0) = X2ux(t, + 0).
Введем (временно) в точке х = 0 температуру и0 и запишем разностную аппроксимацию условия непрерывности теплового потока (справа и слева от разрыва функция и гладкая, только точка х = 0 является точкой нарушения гладкости) в виде
(Временной индекс не пишем, он может быть и п, и Ж.) Отсюда
Такую аппроксимацию теплового потока в точке контактного разрыва иногда называют «наилучшей». (Ниже будет показано, как опасно придавать этому термину слишком универсальное значение.) Эта же формула применяется не только в случае разрыва коэффициента и, но и при переменном коэффициенте теплопроводности. В частности, в рассмотренной выше задаче «газодинамика + теплопроводность», коэффициент и зависит от термодинамических величин и, р (р — плотность вещества), а эти величины определены в полуцелых точках. Таким образом, в каждой «целой» точке т тепловой поток аппроксимируется формулой
nm = 2(Wm + l/2-“m —+ (7)
V m + 1/2 т 1/27 \Хт + ЇП *т-Ш)
Аппроксимация при расчете тепловой волны. Выведенная выше «наилучшая» формула (7), однако, не пригодна для расчета тепловой волны. И вот почему. Пусть в начальных данных фронт тепловой волны находится в точке X1, т.е. ит+1/2 = 0 при т > I. В этом
случае Пт = 0 при т> I (так как Лт+1/2/и*+1/2 = 1/0). Таким обра-
uO “ —1/2 „ иЦ2 uO
TQl *2 hjl -
Опуская простые выкладки, вычисляем П0:
(6)
314
ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ ФИЗИКИ
[Ч. II
зом, тепловой поток через точку X1 равен нулю и температура при хт > X1 останется нулевой и в дальнейшем, т.е. фронт тепловой волны не продвигается, а застревает в начальном положении.
Для правильного расчета тепловой волны используется аппроксимация, учитывающая структуру функции u(t, х) в окрестности фронта тепловой волны (3). Обратим внимание на то, что uk(t, х) — линейная функция х в окрестности фронта. Учитывая этот факт, в расчетах применяют аппроксимацию типа
TT _ “т-1/2 + “т+1/2 “т+1/2—“т-1/2 ґц\
2 0.5(Ат_ш + Ат+1/2Г <¦ >
Для линейной функции ик линейная интерполяция является точной. В свое время автору приходилось решать задачи гидродинамики с теплопроводностью в ситуации, когда коэффициент теплопроводности и имел вид и(м, р, х) =/(*, р)ик, причем функция / была разрывной по х; искомая функция р(t, х) тоже была разрывной (контактные разрывы). При этом были плохи обе формулы (7) и (8): первая препятствовала правильному расчету тепловой волны (а это явление играло важную роль в проводившихся расчетах), вторая приводила к погрешностям на контактных разрывах.
Решение было найдено в виде компромиссной формулы
TT _ “m-l/2 + “m+l/2 “m+l/2~ “m-1/2 /п\
2 ( J
в которой разрывная часть коэффициента теплопроводности учитывалась так, как это рекомендуется теорией для разрывного коэффициента, а множитель ик, ответственный за фронт тепловой волнй, усреднялся с учетом типичного графика u(t, х) в окрестности фронта.
Уравнение теплопроводности с нелинейным источником. Рассмотрим уравнение (1) в случае, если и=и(м), Q = Q(u). Допустим, мы используем неявную схему. Возникает вопрос: что делать с нелинейностями в х и 2? Есть два варианта. Можно оставить их «на нижнем слое» и получить простую схему
UnmW-UnJ1 u"Jl-u"+_\
+1/2 fi Xm-Ill'
+ Q(unm), (10)
где JtJIl+ 1/2= И (mJJ1 + Mjjl +0/2. Уравнение «на верхнем слое» (для
мп+1) линейное; оно решается прогонкой.
Второй вариант (нелинейность «на верхнем слое») отличается от схемы (10) только тем, что в нем используются значения Q(m"+1). В этом случае уравнения «на верхнем слое* нелинейные. Их прихо-
§211
НЕЛИНЕЙНОЕ УРАВНЕНИЕ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ
315
дится решать итерациями с линеаризацией по методу Ньютона и прогонкой для линеаризованных уравнений. Это, конечно, намного сложнее, чем при аппроксимации (10). Из общих соображений трудно понять, зачем нужна такая трудно реализуемая схема. Однако в литературе часто встречаются указания на предпочтительность именно более сложной схемы. В чем дело? Попробуем немного прояснить этот вопрос. Все дело в характере нелинейности и в шаге г по времени. Грубо говоря, дело обстоит так. Если в рассчитываемом процессе шаг х таков, что | xQu(u) | 1, то обе схемы более
или менее равносильны, и следует отдать предпочтение более простой схеме (10).
Поясним это положение следующими оценками. За один шаг х температура изменится на xQ (предполагаем, что кихх — величина
того же порядка), т.е. un+l « ип + xQ. Вычислим
Q(w"+1) » Qiutl + xQ) « Q(un) + xQuQ = (1 + xQu)Q(un).
Если I xQuI I, то Q(un) и Q(un+l) почти совпадают и схема, в которой Q вычисляется на верхнем слое, мало чем отличается от схемы с вычислением Q на нижнем слое. Ho бывают задачи, например связанные с расчетом тепловых явлений в звездах и близких к ним объектах, когда вычисления с шагом х, таким, что x|Qu| <зс1, немыслимы. Это слишком малый шаг. С таким шагом х за приемлемое время работы ЭВМ не удается провести расчет на заданном интервале времени [0, Г] (число шагов Т/х слишком велико) и нужно считать с шагом х :» I/1 Qu \.
