Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Федоренко Р.П. -> "Введение в вычислительную физику" -> 122

Введение в вычислительную физику - Федоренко Р.П.

Федоренко Р.П. Введение в вычислительную физику — М.: Физ-тех, 1994. — 528 c.
ISBN 5-7417-0002-0
Скачать (прямая ссылка): vvedenievvichesleniyah1994.djvu
Предыдущая << 1 .. 116 117 118 119 120 121 < 122 > 123 124 125 126 127 128 .. 210 >> Следующая


В каких же задачах применение неявных схем дает существенный выигрыш по сравнению с явными? Это — задачи с нелинейной теплопроводностью и с решением типа «тепловой фронт». В решениях таких задач можно выделить три характерных области (см. рис. 33).

1. Зона перед фронтом тепловой волны (или «фон», по которому распространяется тепловая волна) характеризуется очень малыми

температурами и$. Коэффициент теплопроводности «ф в уравнении

(2) так мал, что практически не происходит никаких перетоков теплоты. Это утверждение имеет смысл лишь относительно тех характерных времен Т, которые нас интересуют в данной задаче. Оно означает, что Tu^/L2« 1, іде L — характерное для задачи расстояние по х.

2. За фронтом тепловой волны температура и+ очень велика и реализуется почти изотермический режим: температура почти не меняется ПО X, но может меняться по t. Опять-таки дело в том, что очень велик коэффициент теплопроводности и+, точнее (в безразмерных терминах) tu+/L2» 1. Из этого соотношения следует, что за малое с точки зрения характерных времен задачи время х«Гв изотермической зоне успевает выравняться температура.

Пусть в начальных данных в изотермической зоне имеется какой-то профиль температуры. Разложим его в ряд Фурье, учитывая, что характерный масштаб по х есть L:

±00

и(0, х) = с0 + ^ Cm eimnxlL.

m = ± I

(Для иллюстрации примем модель линейной задачи: Ut = и+ихх.) Тогда через время х решение будет

и(х, х) = C0 + ? Cm eim*xlL e-mW+x/L\

m
§21]

НЕЛИНЕЙНОЕ УРАВНЕНИЕ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ

319

Даже для самой гладкой и наиболее медленной первой гармоники (т = ±1) временной множитель ехр (—л?ик+т/Ь2) « 1, т.е. фактически и(х, х) = с0. Возмущения и неровности, наложенные на изотермический профиль, мгновенно (с точки зрения времени T) выровнялись. В этой зоне и% играет роль большого параметра, и решение определяется «квазистационарным» уравнением [MtMjtJjt = O, или UkUx = c(t), т.е. тепловой поток почти постоянен ПО X, HO, вообще говоря, может меняться по времени.

3. И наконец, есть еще переходная зона — зона тепловой волны, в которой м переходит от м+ к Мф и профиль u(t, х) носит характер, близкий к автомодельному. Передний фронт тепловой волны рассчитывается при условии Куранта хик «А2.

Нельзя заранее разделить всю область переменных (Z, х) на эти три зоны. Мы хотим их рассчитывать по единой схеме, не вводя разных формул в разных зонах. Здесь проявляется решающее преимущество неявной схемы, которая выдерживает сильное изменение критерия Куранта (безразмерной величины xuk/h2) и не теряет устойчивости.

Теперіь уместно вспомнить, что мы только что скомпрометировали расчет с очень большим «курантом», показав, что он не обеспечивает точности в передаче временной эволюции коэффициентов Фурье. Это так, но в изотермической зоне точный темп временной эволюции разных гармоник нам и не нужен. Важно только, чтобы разностная схема правильно передавала качественный характер — почти полное их исчезновение за время т, и это она обеспечивает. Вспомним еще раз жесткие системы уравнений: уравнение теплопроводности является жесткой системой в бесконечномерном пространстве. Именно решение задач с описанным выше качественным поведением решения и было основным стимулом, приведшим к активному использованию неявных схем для уравнений теплопроводности и к «изобретению» метода прогонки.

Метод потоковой прогонки. При расчете решений, содержащих изотермический участок с очень большим коэффициентом теплопроводности, вычислители встретились с характерной трудностью, преодоление которой, в частности, привело к созданию специального варианта прогонки, названного потоковым. В чем же было дело? На этом участке, как уже отмечалось, поток иких « с(t) был почти постоянным по х, а величина с = 0(1). Стало быть, их = с/ик —-величина очень малая и в некоторых ситуациях настолько малая, что ее невозможно правильно вычислить по разностной формул^ типа (мт - Mm_j)/A.
320

ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ ФИЗИКИ

[Ч. II

В самом деле, величины ит в машинном представлении заменяются на Mm = Mm(I + ет), где є — погрешность машинного представления чисел. Фактически ЭВМ вычисляет

В некоторых случаях мы сталкиваемся с ситуацией, когда погрешность 0(ut/h) много больше основной величины (Um-Um^l)Zh и

ничего хорошего ожидать не приходится.

Поясним сказанное несколько иначе. Конечное значение теплового потока с получается, так сказать, раскрытием неопределенности «с = 0- оо», причем их 0, ик « оо. Ho на ЭВМ с конечным числом разрядов в представлении числа значение разностной производной (Um-Um^l)Jh не может стремиться непрерывно к нулю: оно либо нуль (при Mm = Mm_i), либо не меньше I M I t/h.

Первый случай реализуется при совпадении мт и Mm со всеми машинными знаками, второй — при различии их хотя бы в последнем знаке мантиссы машинного числа. Если модуль | с| «ukuxt/h, поток иких либо нуль, либо много больше с. В этом источник трудностей. Его можно преодолеть переходом к расчету с двойной точностью, HO можно поступить иначе, применяя метод потоковой прогонки. Его основу составляет представление уравнения теплопроводности (1) в виде системы
Предыдущая << 1 .. 116 117 118 119 120 121 < 122 > 123 124 125 126 127 128 .. 210 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed