Введение в вычислительную физику - Федоренко Р.П.
ISBN 5-7417-0002-0
Скачать (прямая ссылка):
Ut = \иких]х. <2)
Уравнения такого типа встречаются при описании процессов в высокотемпературном веществе (лучистая теплопроводность), Например в звездах. Аналогичные уравнения описывают и процессы фильтрации.
Рассмотрим характерное и очень важное в приложениях явление, описываемое этим уравнением, — так называемую тепловую волну, или, иначе, тепловой фронт. На рис. 33 изображены графики функций u(tt, х) для трех моментов времени
Рис 33 tv< t2< t3. В этом случае мы имеем процесс рас-
пространения высокой температуры по «нулевому фону» (перед фронтом тепловой волны и = 0; в действительности, конечно, перед фронтом температура не нулевая, но очень маленькая по сравнению с температурой за фронтом).
Тепловой фронт. Буйем искать «автомодельное» решение уравнения, т.е. решение, зависящее не от t и х, а от их комбинации, в
данном случае от ? = х — Dt, іде D — некоторая постоянная, смысл
которой потом станет ясным. Тогда
ди__du_d\_____D^i _du
dt * d\ dt — d%' Jx ~~ d%’
Нам следует найти решение обыкновенного дифференциального уравнения -Du' = \ики']'. Интегрируя, получаем -Du = ики'. (Так как мы ищем какое-нибудь решение, постоянную интегрирования положим равной нулю.) Уравнение uk~lu' = —D, или (и*)' = —kD, интегрируется и дает ик(\) = —kD\.
§21]
НЕЛИНЕЙНОЕ УРАВНЕНИЕ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ
311
Итак, мы получили решение м(|) = VkD Ho нас интересу-
ет вещественное и положительное и. Поэтому это решение имеет смысл только при % ^ 0, т.е. при X $ Dt. Положим и(|) =0 при I > 0. Легко видеть, что функция ы(|) =E= 0 является решением. Вопрос только в том, можно ли эти два решения склеить, точнее говоря, можно ли и в каком смысле говорить, что функция
= (3)
есть решение уравнения теплопроводности.
Естественно обратиться к понятию обобщенного решения, так как в любой точке (t, х), кроме линии х — Dt (фронт тепловой волны), эта функция удовлетворяет уравнению теплопроводности в классическом смысле. Обобщенное же решение вводится как функция, удовлетворяющая интегральному тождеству (закону сохранения). Для любой области Q
И (?-&(*?)) w
Q
или для любого контура дй
ф, (и dx + х dt\ = 0.
an ' '
Именно в этой форме и проверяется, является ли и обобщенным решением. Если контур не пересекает фронта, проблемы нет; там, ще
функция u(t, X) гладкая, соотношения (2), (4), (5) эквивалентны.
Рассмотрим элементарный контур дО, пересекающий фронт х = Dt (рис. 34). Проведем линии 12 и 34, параллельные фронту и находящиеся от него на расстоянии є. Тоща
(5)
j = шп j j + j 1.
АП I JA2 ЗВ4 J
Заменим эти части контура штриховыми линия- Рис. 34
ми, показанными на рис. 34. Обозначим замкнутые контуры через 1А21 и 3B43. Каждый из этих контуров лежит в области, в которой составное решение (5) является классическим. Поэтому, например, справедливо соотношение
S = S + S=0- те- S = -S-
Итак,
1А21 1А2 21
JA2
21
312
ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ ФИЗИКИ
Очевидно, S=O. Осталось оценить 43
2
J (ы dx + uk Il dt).
1
На линии 12 имеем | х — Dt| = е, и(х — Dt) = 0(e1/fc); следовательно, интеграл от и стремится к нулю. На этой же линии ик = О(е), их = dutd\ = 0(e1/t_1). Таким образом, иких — 0(г11к) на линии 12, и интеграл от этой величины также стремится к нулю. Итак, составное решение (3) является обобщенным решением нелинейного уравнения теплопроводности.
Обсудим несколько вопросов, возникающих при построении разностных схем для уравнения теплопроводности.
Аппроксимация на контактном разрыве. Рассмотрим уравнение (1) в случае, если Q = Oh коэффициент теплопроводности и(х) разрывен. Пусть среда имеет контактную границу, т.е. при х < 0 одно вещество с коэффициентом теплопроводности X1, при
X > 0 другое вещество с коэффициентом теплопроводности и2. Рассмотрим разностную схему, в которой по каким-то причинам удобно поместить контактный разрыв в «целую» счетную точку, а температуру и определить в полуцелых. Это бывает в задачах, в которых, кроме теплопроводности, учитываются и другие процессы, т.е. уравнение для и входит в более сложную систему, например в систему гидродинамики с теплопроводностью (см. § 22). Если счетная точка, в которой определена температура и (и другие термодинамические параметры), совпадает с контактным разрывом, возникают сложности с уравнением состояния.
Следуя § 11, построим в пространстве (х, t) сетку с узлами (т, п), приписывая им координаты хт, tn (xm+1 = хт + hm+l/2). Введем сеточную функцию ит+ ід, считая ее определенной в точке
+1/2 = 0-5(-Km + хт+1). Разностная аппроксимаций строится так: ,,"+I —и" п — п
W+1/2 т+1/2 __ т+1 “т
х ^m+1/2 ’
где Пт— аппроксимация теплового потока хих через границу хт. Если в точке хт свойства среды непрерывны, для Ylm имеем очевидную аппроксимацию:
Hm = (*»AJ« + l/2-“m-l/2) (явная схема),
nrn = (xJhm)(Ki+m - <1-т) (неявная схема).
§21]
НЕЛИНЕЙНОЕ УРАВНЕНИЕ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ
313
Разберем вопрос о том, как следует поступать в точке т = 0, в которой рвутся и и их, т.е. ихх sw 6(х) (6(х) — дельта-функция), и, стало быть, не выполняются предположения, на которых базируется стандартная техника построения разностных аппроксимаций. В подобных ситуациях необходимо привлечь более точную информацию о дифференциальных свойствах искомого решения. В данном случае следует использовать физические предположения о процессе распространения теплоты. В точке х = 0:
