Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Федоренко Р.П. -> "Введение в вычислительную физику" -> 118

Введение в вычислительную физику - Федоренко Р.П.

Федоренко Р.П. Введение в вычислительную физику — М.: Физ-тех, 1994. — 528 c.
ISBN 5-7417-0002-0
Скачать (прямая ссылка): vvedenievvichesleniyah1994.djvu
Предыдущая << 1 .. 112 113 114 115 116 117 < 118 > 119 120 121 122 123 124 .. 210 >> Следующая


В самом деле, из Dv + и = C2 = Dv1 + U1 при v = V1 следует, что и = U1. Из -Du + р + q = C1 = -Dul + P1 при и = U1 имеем P + Q= P1- Из

+ т) + (р+ Q)u = C3 = -d (т=Т + т + PivI при V = V1, U=U1, р+Q = Pi получаем р— P1 и, следовательно,

q = 0. Таким образом, при и = ut левая, а следовательно, и правая

части (24) обращаются в нуль. Точно так же рассматривается и случай V = V2.

Используя выражение для q, получаем дифференциальное уравнение для V. 2

є(г^)2 = 0.5(v + l)(v — Vi)(v2 — v) (2o)

(и условие > 0). После замены переменных | = V2e/(7 + 1) к] и V= (vY-\- V2)/2 + z(vY — v2)/2 уравнение (26) принимает вид

(Z4)2-I-Z2.

Решение угадывается: z(i\) = ± 1 или z(r\) = sin г). Последним решением можно пользоваться (в силу условия и. > 0, т.е. zn > 0) лишь при к] Є [—тс/2, л/2].

Возвращаясь к прежним переменным, получаем решение (продолжая его постоянным за пределами выделенного интервала т]):

41)

I= х — DK — V-

2е я

2> '= л ' Y+i 2’ '.Ip + HTSsin 00, Hl <

I= X — Dt

>V^f.

V+ 1 2

Такие же формулы легко получить и для функций и(!) и р(%) + <?(|) с заменой V1, V2 на U1, U2 или P1, р2 соответственно.

Итак, получено решение уравнений с вязкостью, совпадающее с решением типа «чистая ударная волна» всюду, за исключением узкой полосы вдоль фронта ударной волны | х — Dt\ < (зг/2)У2е/(7 + 1). Ширина «размазанной ударной волны» есть jtV2e/(7 + 1). Опыт показал-, что хорошие результаты дает выбор е, при котором волна разре-
§20]

ОДНОМЕРНЫЕ УРАВНЕНИЯ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ

309

шается четырьмя-пятью счетными точками. Например,

5h = :tV2e/(v + 1), т.е. є = 25h2(y + 1)/(2л2) я» 2Л2.

Отметим, что можно выписать формулы для р(|) в зоне волны. Детали нам не очень нужны, отметим лишь, что фактически область плавного перехода от P1K P2 примерно в два раза уже, чем для остальных функций V, и, р + д. При расчетах в лагранжевых координатах по л: дифференцируются только функции и и р + д, каждая из которых имеет стандартную ширину зоны размазывания. Функции р и д отдельно по л: не дифференцируются. Поэтому сокращение фактической ширины волны для р не играет роли. Правда, мы должны еще обеспечить должное размазывание фронта волны на четыре-пять точек сетки по времени. Практика расчетов, проводившихся в пятидесятых годах привела к такому рецепту. Ударная волна за один шаг времени должна проходить примерно половину интервала по массовой координате, т.е. по времени зона размазанной волны захватывает примерно в два раза больше счетных интервалов.

Обратим внимание на то, что по t дифференцируются все функции. Таким образом, и более крутой график р также «разрешается» четырьмя-пятью точками сетки по t. Этот рецепт (половина шага по пространству за шаг по времени) не был связан с условием устойчивости, так как >ш применяли неявные абсолютно устойчивые схемы. Он был связан с тем, что для необходимой точности разностной аппроксимации нужно разметить на крутых профилях функции четыре-пять счетных точек сетки (как по времени, так и по пространству). Попытки расчетов с большими шагами по t (расчет, например, со скоростью один шаг по пространству за шаг по времени) приводили к ухудшению результатов: на графиках появлялись осцилляции явно счетного происхождения.

Заметим, что все проведенные выкладки можно повторить и в эйлеровых координатах. Однако ситуация осложняется тем, что в эйлеровой форме уравнений по л: дифференцируются все функции. Поэтому приходится брать в два раза более широкую зону размазывания (по х), чтобы фактическая ширина зоны размазывания р была покрыта четырьмя-пятью интервалами сетки. Это уже не очень приятно, так остальные величины при этом размазываются на десять точек. В 1962 г. автором проводился расчет ударной волны в эйлеровых координатах. Чтобы избежать слишком широкого счетного фронта волны, была выбрана довольно экстравагантная форма записи уравнений: в качестве основных функций были взяты и, р, с где с — скорость звука. Уравнения (® недивергентной форме) оказались такими, что по л: дифференцировались только функции, профили которых имели в зоне волны стандартный синусоидальный вид. Это позволило вести расчеты с шириной размазывания порядка Ah. (Подробнее об этом см. § 22 в связи с применением гибридной схемы для решения уравнений газовой динамики в эйлеровых координатах.)
310

ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ ФИЗИКИ

[Ч. II

§ 21. Нелинейное уравнение теплопроводности

Рассмотрим некоторые вопросы, возникающие при численном решении нелинейного уравнения теплопроводности.

д и д Г / j \

Ht ~ дх *(Х' И) дх

+ Q(x,t,u), (1)

которое решается в простой области 0 ^ t ^T, О^х^Хс начальными данными и(0, х) = и0(х) и краевыми условиями, для простоты, первого рода: u(t, 0) = u(t, X) = 0.

Нужно иметь в виду, что нелинейность уравнений приводит к сложностям не сама по себе, а лишь в тех случаях, когда она порождает сложные, описываемые негладкими функциями, явления. Чтобы сделать это более конкретным, рассмотрим важный в приложениях случай, коїда коэффициент теплопроводности и зависит от и степенным образом:
Предыдущая << 1 .. 112 113 114 115 116 117 < 118 > 119 120 121 122 123 124 .. 210 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed