Введение в вычислительную физику - Федоренко Р.П.
ISBN 5-7417-0002-0
Скачать (прямая ссылка):
При определенных условиях выходом из положения является аппроксимация источника на верхнем слое. Нужно сказать, что эта ситуация внешне и по существу очень близка к тому кругу вопросов, которые мы обсуждали при описании жестких систем и методов их интегрирования (там тоже решающую роль играли неявные схемы) . Естественным условием применимости схемы с большим шагом х является «устойчивость»: Qu < 0.
Описанная выше ситуация часто встречается в задачах астрофизики, когда Q= Q1- Q2, где Q1 и Q2 определяют выделение (за счет ядерных реакций, например) и поглощение энергии соответственно. Оба этих процесса очень, интенсивны и «почти сбалансированы», т.е. IQ1-Q2I^lQiI + IQ2I-
Другими словами, выделившаяся в какой-то точке энергия поглощается почти в этом же месте. Разумеется, термин «почти в этом же месте» означает, что энергия поглощается на расстоянии от места выделения, меньшем шага счетной сетки. В задачах, связанных с расчетом процессов в звездах, когда по радиусу звезды вводится IO2 -г- IO3 точек, шаг h достигает тысяч километров.
316 ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ ФИЗИКИ [Ч. II
Если в описываемой ситуации Qu > 0, нужно считать с шагом x<^Q~l или придумывать что-то другое, более сложное, чем переход к неявной схеме.
Зачем нужны неявные схемы? Ответ на этот вопрос кажется совершенно очевидным. Неявные схемы нужны для того, чтобы считать задачи с шагом по времени х, существенно ббльшим, чем это позволяет известное условие Куранта. Для уравнения Ut = ихх, О <'х < I, t > 0, u(t, 0) = u(t, I) = 0, на примере которого мы ниже рассмотрим некоторые вопросы, условие Куранта, как известно, имеет вид х < 0.5А2.
Итак, неявные схемы позволяют проводить устойчивый счет при х » А2/ 2, например при т«Л. Ho ,всегда ли следует пользоваться этим преимуществом? Обсудим это. Результат будет примерно такой. Для уравнения теплопроводности соотношение х « А2, в известной мере,
естественное. Его не следует нарушать очень уж сильно, счет с х » A2 требует большой осторожности. Это связано с другим важным понятием — с фактической погрешностью аппроксимации.
Перейдем к конкретному анализу. Допустим, мы проводим расчет с шагом А —1/100. Имеет ли смысл расчет с шагом X=A = 1/100? Вообще говоря, нет. Используем неявную схему:
UnJ1-Unm ип+'-2ип+,+ип+'
_т-----т=_т-Ч------т----m+т = 1, 2, M- 1.
Разложим решение в ряд Фурье:
“т = E CII Sin (kKnb)-к
Тогда для коэффициентов Фурье спк без труда можно получить разностное уравнение:
Vх-Cnk 4
2^cri, т.е. c2 = c°(l+4J-sin2^) ".
=------ Sm
* A2
Точное решение дифференциальной задачи имеет вид
u(t, х) = 2 с\е~хк* sin (?юс), Xk = к2ж2. к
О точности разностного решения можно судить, сравнивая величи-
-1 I jxo kith\ ~п
ны е A*rat и 11 + 4 — sinz~2~\ • При I knh| 1 можно положить
„ T 2 kick , л X .2^21.2 ~ "
§ 21]
НЕЛИНЕЙНОЕ УРАВНЕНИЕ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ
317
Если еще принять, что T^2Ot2**: 1, то I + тк2л22& и
Этой простой оценкой мы выяснили следующие обстоятельства. Достаточно правильно вычисляются те Фурье-компоненты решения (т.е. те члены ряда ^ с* sin (knmh)), у которых knh« 1. Так как h = 0.01, то это, грубо говоря, первые 20 гармоник (20л; • h % 0.6). В общем случае, при h = 1 IN, это примерно 1/5 всех присутствующих в разностном решении гармоник, так как (N/5)nh 0.6 . Считаем,
что 0.6 «зс 1, так как sin2a/a2 « 0.89 при а = 0.6.
Итак, на данном этапе рассмотрения мы отказались от претензий правильно рассчитывать эволюцию 4/5 всех гармоник, т.е. в рассчитываемом явлении они не должны играть существенной роли. Интересующее нас решение не должно претерпеть существенных изменений, если мы ограничимся отрезком ряда Фурье
Если это не так, то ста точек для расчета недостаточно. Ho и это еще не все: точность численного решения задачи зависит от шага по времени г .
Выше было введено условие, при котором разностный коэффициент Фурье с\ воспроизводит правильное значение с\е~хьпг с точностью, зависящей как от к, так и от т. Проверим условие тк2ж2<^ 1, полагая к = N/5:
(Здесь мы считаем, что 0.5-« 1, так как е~05 = 0.61 1 — 0.5.) Та-
ким образом, даже при не очень высоких требованиях к точности, мы пришли почти к тому же соотношению между X и А, которое следует из требования устойчивости для явной схемы!
Можно взять схему второго порядка точности по х:
20
u{t, х) = 2 ct е~Хк‘ s*n къх. Zfc = I
Tn1(NIS)2 < 0.5, т.е. х < I IN2 = А2.
2
X
Для Cl получаем выражение
318
ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ ФИЗИКИ
[Ч. II
При том же условии knh <к 1 имеем
Сравним функции (1 — 0.5х)/(1 +0.5*) и е~х. При х = 1 погрешность достигает 10 %, при х = 0.5 она порядка I %. В этом случае мы можем претендовать на приличную точность при тк2л2 < 0.5, т.е. при г $ А2. (Это может породить неверное впечатление, будто бы схема второго порядка точности не имеет преимуществ. Конечно, имеет, но они сказываются в точности расчета более гладких компонент решения, соответствующих меньшим к. He надо также упускать из вида, что как в точном решении, так и в разностном негладкая компонента решения быстро стремится к нулю с ростом t.)
