Введение в вычислительную физику - Федоренко Р.П.
ISBN 5-7417-0002-0
Скачать (прямая ссылка):
Исследование дисперсионного соотношения для разностной схемы. Подчеркнем, что этот аппарат, строго говоря, работает только в случае линейных уравнений с постоянными коэффициентами. Он применяется для линеаризованных моделей реальных уравнений, однако полученные в линейной модели рекомендации затем используются и в реальных задачах. Хорошо известно, чтб такое дисперсионное соотношение для линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами. В нашем случае для уравнения pt + ирх = 0 дисперсионное соотношение появляется,
коща мы ищем решение вида ex<-k)t+ikx, где Х(к) = —uki.
Оказывается, разностные уравнения (линейные, однородные, с постоянными коэффициентами) имеют решения того же вида, но, конечно, с другой функцией к(к), зависящей от шагов т, h и вида разностной схемы. Найдем дисперсионное соотношение для напи-
(J)OOoo0 1 Точное о I решение
6
I
I о
I
1 °°о
__________j_____ . °, <3
20 25 30 35 40 45 W Рис. 31
§20]
ОДНОМЕРНЫЕ УРАВНЕНИЯ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ
301
санной выше схемы, полагая р" = еШ)т+Ikmhi Подставляя эту функцию в разностное уравнение, после очевидных преобразований получаем соотношение
Из него легко вычислить дисперсионное соотношение для схемы «против потока»:
Естественно оценивать качество разностной схемы по степени совпадения дисперсионных функций для дифференциального и разностного уравнений. Идеальным было бы их совпадение. Оно обеспечивается условием uxlh= 1. Этот идеальный случай, к сожалению, практически не интересен. Соотношение ux/h = 1 в реальной задаче, когда значение и не является постоянным, а меняется во времени и в пространстве, во всех точках сетки выдержать нельзя. Поэтому связанными с ним преимуществами воспользоваться в практической работе не удается. Разумеется, функция Х(к, h, т) должна аппроксимировать к(к). Параметр h есть малый параметр, и аппроксимация, естественно, тем лучше, чем меньше волновое число к (чем глаже по л: рассматриваемое частное решение); на сетке с шагом h волновые числа к > 2л/h уже не реализуются.
Суждения о качестве разностной схемы можно делать, сравнивая графики к(к) и к(к, h, т). Некоторые выводы можно получить, считая kh«-1 (в смысле kh =S 0.5, например) и разлагая в ряд Тейлора хотя бы с точностью до второго члена:
Сравним частные решения дифференциального и разностного уравнений:
gik(mh-unx) eik{mh—unx) e~uk,z(h-их)пх/1
Сделаем некоторые качественные выводы из полученной формулы.
1. Как отмечалось, малоинтересен специальный случай их = h.
2. При и < 0 схема непригодна: решения разностного уравнения отличаются от решений дифференциального множителем порядка е\и\к hnx^ КОХОрЫй прИ к ^\/h катастрофически (при h, т-*0) растет, как gluWh.
3. При h — их < 0, т.е. ux/h> 1, схема непригодна по тем же причинам.
4. При и > 0 и их ^ h решения отличаются множителем, затухающим при росте t, причем темп затухания тем выше, чем больше волновое число к (т.е. чем меньше длина волны частного решения
(ех% - 1)/т + и(1 - e~ikh)/h = 0.
Х(к, h, т) = -Mn [1-м ^J+ и\е
JL a-ik,h
302
ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ ФИЗИКИ
[Ч. II
типа eikx). Таким образом в отличие от решения дифференциального уравнения, в котором все гармоники с течением времени сохраняют свою амплитуду, в решении разностного уравнения происходит затухание коротковолновых гармоник. Это приводит к тому, что разрыв в начальных данных с течением времени сглаживается.
Приведем еще две популярные схемы аппроксимации «уравнения переноса» Pt + ирх = 0, имеющие второй порядок аппроксимации по г и А, и их дисперсионные соотношения. Схема «квадрат» имеет вид
,л+1
+ Pm+,
_п I -At
Pm+Pm + l
Pm+1 +Pm+1
„л+1
+ Р*
0. (19)
Ее дисперсионное соотношение таково:
Х(к, h, х) = і In
Асимптотика при kh«-1 Х(к, h, х) J
іки + у2 іик3(и2х2 — h2).
Другая схема (называемая характеристической схемой второго порядка):
„л+1
Pm і ..Pm Pm-I , .. h /, T -------+ и--------й-----+ U1
имеет дисперсионную функцию
г/n+ 1
* 2р" + р" ,
гт ' гт— I
0, (20)
1 + и j (е ikh — I) + Au 4 (1 — и х) sin2 .
X(k, h, х) = In
Ее асимптотика при \kh\<x.\ такова:
Х(к, h, х) « —iku + ^ ik?u(h2 — и2х2).
В обоих случаях Х(к, h, х) совпадает с Х(к) с точностью до 0(к3), а не 0(к2), как в первом случае (эти схемы имеют второй порядок аппроксимации, а аппроксимация «против потока» — только первый).
Какие же выводы можно сделать из полученных формул? Решения дифференциального уравнения имеют вид волн с «частотой» к, движущихся равномерно вправо со скоростью и > 0. Волны (для всех к) движутся с одной и той же скоростью. Поэтому график p(t, х), заданный в начальный момент времени, просто движется со скоростью и, не меняя своей формы. Решения разностного уравнения имеют вид
'f Jfc
ехр
X = х„
t = І
п>
§201
ОДНОМЕРНЫЕ УРАВНЕНИЯ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ
303
причем
—j Х(к, h, х) = и ^l + (Л2 — M2X2)
(для характеристической схемы).
Таким образом, каждая элементарная волна движется со своей собственной скоростью Uk = —X/к, которая мало отличается от и при малых частотах к. Высокочастотные же волны движутся с существенно отличной от и скоростью. Заметим, что в схемах второго порядка точности гармоники не затухают с течением времени. Различие в скоростях ик приводит к тому, что первоначальный «волновой пакет», определяющий форму начального профиля р°, деформируется за счет «рассогласования фаз». В расчетах это сказывается в том, что график теряет монотонность.
