Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Федоренко Р.П. -> "Введение в вычислительную физику" -> 117

Введение в вычислительную физику - Федоренко Р.П.

Федоренко Р.П. Введение в вычислительную физику — М.: Физ-тех, 1994. — 528 c.
ISBN 5-7417-0002-0
Скачать (прямая ссылка): vvedenievvichesleniyah1994.djvu
Предыдущая << 1 .. 111 112 113 114 115 116 < 117 > 118 119 120 121 122 123 .. 210 >> Следующая


В лагранжевых переменных скорость контактного разрыва равна нулю, и нет проблемы его размывания. Именно это обстоятельство делает лагранжевы переменные весьма удобными и популярными при построении расчетных методов решения задач гидродинамики. К сожалению, это свойственно только одномерным задачам газовой динамики (задачи в t, х). При переходе к двумерным задачам использование лагранжевых переменных оказывается весьма трудным и во многих случаях просто невозможным. Подробнее об этом см. в § 23.

Расчет ударных волн. Искусственная вязкость. Перейдем к проблеме численного решения задач с ударными волнами. Будем использовать уравнения в массовых лагранжевых координатах в дивергентной форме (14). Разностная аппроксимация дифференциальных уравнений основана на предположении об определенной гладкости искомых решений. Когда этой гладкости нет, нужно вводить соответствующие усложнения вычислительной схемы.
306 ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ ФИЗИКИ [Ч! II

Расчет ударных волн основан на предложенном фон-Нейманом и Рихтмайером приеме — на введении в уравнения искусственной вязкости. Она вводится таким образом, чтобы уравнения мало искажались вне зоны ударной волны. Сама же ударная волна при этом «размазывается» на пренебрежимо малую ширину. Таким образом мы заменяем уравнения газовой динамики на слабо возмущенные, но уже не имеющие разрывных решений уравнения. Конкретно, новые уравнения имеют вид

ut + (р+ q)x = 0, Vt — их —0,

+ + Kp + я)и\х = 0> ^

Где q — малая искусственная вязкость.

Нейман и Рихтмайер предложили очень удобную конструкцию (она наиболее популярна и чаще других используется в расчетах):

4 = IU I “*!)«*• (22)

Здесь є — малый параметр, выбор которого мы в дальнейшем уточним. Очевидно, q 5* 0, если их < 0. Это условие выделяет те участки течения, на которых происходит сжатие вещества (плотность растет: из их < 0 следует vt < 0, т.е. Pt > 0). Наоборот, там, где течение сопровождается «разрежением» (их > 0, q = 0), вязкость «выключается». Ударная волна — это как раз участок течения, на котором происходит ударное, скачкообразное, сжатие вещества.

Достоинства неймановской искусственной вязкости проще всего продемонстрировать, сравнив точные решения простых модельных задач для исходной системы уравнений (14) и для уравнений с вязкостью

(21). Эти простые решения относятся к важному классу автомодельных решений, в которых характерные особенности реальных решений (в данном случае, ударные волны) проявляются, так сказать, «в чистом виде», без взаимодействия с какими-то гладкими течениями.

Забегая вперед, опишем результат. Оказывается, решением исходной системы будет ударная всшна — «ступенька», движущаяся с постоянной скоростью, а решением системы уравнений с искусственной вязкостью (21) будет движущаяся с той же скоростью «размазанная ступенька», причем ширина зоны размазывания фиксирована, она зависит, разумеется, от величины є. Вне зоны «размазанной ударной волны» все функции и, v, р, е для обеих систем уравнений совпадают.

Итак, рассмотрим следующую ситуацию. Пусть имеется решение уравнений (14) типа чистой ударной волны, т.е.

и,, vv ev х > Dt,
ОДНОМЕРНЫЕ УРАВНЕНИЯ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ

307

где D — скорость ударной волны, и выполнены соотношения Гюгонио (в массовых лагранжевых переменных):

a) -Dul + P1 = C1 = -Du2 + р2,

Построим аналогичное решение для уравнений с искусственной вязкостью. Это решение будем искать в классе автомодельных решений типа «бегущей волны», т.е. когда все функции и, v, е зависят от одного аргумента | = л: — Dt. Уравнения в частных производных (14) превращаются в обыкновенные после замены операторов d/dt = —D d/d\, д/дх = d/d\. Выписывая эту систему и интегрируя ее один раз, мы получаем систему «первых интегралов»:

Так как мы не решаем какую-то определенную задачу, а просто конструируем нужное нам решение, постоянными интегрирования можем распоряжаться так, как нам будет удобно. В частности, здесь C1, C2, C3 — те же самые, что и в соотношениях Гюгонио (23).

Дальнейшие выкладки будем проводить для идеального газа: e = pv/(y — 1). Руководящей идеей последующих преобразований является стремление получить уравнение только для v(|), остальные переменные будем исключать через V. Следующие ниже выкладки оправданы лишь при их < 0, т.е. при > 0. В этом случае

q = ZD2(Vi)2Iu. Из полученных «первых интегралов» имеем

U = C2-Dv, (р+ q) = C4- D2V, P=Ca- D2V — q.

Точные значения постоянных C4 и других (А, В\ см. ниже) нас пока не интересуют.

Из «интеграла энергии» для идеального газа

исключим р, и, (p + q) по уже найденным формулам. После простых преобразований получаем уравнение для v:

б) Dvl + U1 = C2 = Dv2 + и2,

(23)

\ /

—Du^ + (р + q)^ = 0 => -Du + р + q = C1, -Dv^ — и^ = 0 => Dv + и = C2,

(23*)
308 ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ ФИЗИКИ [Ч/ И

t

Утверждение. Многочлен в правой части (24) обращается в нуль при V= vx и V= V2', поэтому он может быть записан в виде

QV= - ^-D2(V-V1)(V-V2). (25)

Доказательство. Соотношение (24) является следствием соотношений (23*). Покажем, что полагая в этих соотношениях v = V1, можно получить в качестве следствий равенства р= P1, u = U1, q = 0.
Предыдущая << 1 .. 111 112 113 114 115 116 < 117 > 118 119 120 121 122 123 .. 210 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed