Введение в вычислительную физику - Федоренко Р.П.
ISBN 5-7417-0002-0
Скачать (прямая ссылка):
Наличие таких немонотонностей очень не нравится вычислителям, так же как и сильное размазывание контактной границы. Существует специальный термин монотонная схема. Если в начальных данных задана произвольная монотонная сеточная функция р° и разностное решение р"г, полученное по какой-то схеме, остается монотонным, то схему называют монотонной. Схема «против потока» монотонна, но сильно «мажет» контактную границу. Схемы второго порядка размазывают границу существенно меньше, но они не монотонны. С. К. Годунов доказал, что среди явных схем второго (и выше) порядка аппроксимации не существует монотонных.
Разработчики разностных схем прикладывают определенные усилия для создания схем, в которых оба дефекта — размазывание и немонотонность — были бы возможно меньшими. В частности, автором в 1962 г. была предложена схема, в которой использовалась схема «против потока» (18) (первого порядка) или схема (19) — в зависимости от «локальных дифференциальных свойств решения», т.е. в зависимости от величины
ті" =
Im
Pm+1 Pm-1
Pm Pm-I
Если эта величина не очень велика (г)< 3), в данном узле (т, п) используется схема второго порядка, в противном случае — первого. Этот прием позволил устранить осцилляции в профиле р" и сохранить размазывание разрыва, характерное для схемы второго порядка. Такие схемы теперь называют «гибридными».
На рис. 31, 32 показаны результаты расчета задачи о движении контактного разрыва. Представленные на момент времени t = 35 (т.е. разрыв прошел 35 счетных точек) результаты получены по следующим схемам:
/
304
ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОМ ФИЗИКИ
[Ч.ЇІ
а)
б)
а) по схеме первого порядка (разрыв сглаживается, с ростом времени ширина размазывания растет, как VT; см. рис. 31);
б) по схеме второго порядка (появляются паразитические осцилляции, но ширина зоны размазывания разрыва уменьшается);
в) по «гибридной» схеме первого и второго порядков (CM. рис. 32а);
г) по схеме третьего порядка (разрыв выражен резче, но видны, хотя и не очень значительные, осцилляции);
д) по «гибридной» схеме первого, второго и третьего порядков (см. рис 326; кружки — «гибридная» схема третьего порядка).
Видно, что «гибридность» позволяет устранить осцилляции, сохраняя ширину размазывания, характерную для схемы наибольшего
используемого порядка.
Однако в наиболее сложных ситуациях при расчетах двумерных течений (в t, х, у) на сетках с относительно умеренным числом точек и при сложной деформации первоначальной формы контактных границ такие методы проблемы не решают. В этих случаях используются так называемые методы типа PIC (см. § 23). Отметим только, что создание и развитие таких методов существенно связано именно с проблемой расчета контактных разрывов.
Характеристические схемы. Схема «против потока» и ее уточнение (20) являются примерами так называемых характеристических схем. Поясним простой принцип их конструирования, широко применяющийся и в более сложных задачах. Оператор d/dt + и д/дх есть производная по t вдоль направления dt: dx = 1 : и, а уравнение Pt + ирх = 0 означает, что значение р переносится без изменений
вдоль этого направления. Для того чтобы, зная величины рт (т = 0, 1, 2, ...), вычислить значение р"г+\ нужно найти значение р в момент tn в точке хт — мт. Так как эта точка не совпадает с узлом сетки, следует проинтерполировать в эту точку значения и из ближайших узлов И-ГО слоя.
Используя линейную интерполяцию значений р" _J и р"г, получаем схему (14):
Pm+1 = ctPm + (I-O)Pm-I- О = ИТ/А.
Рис. 32
ОДНОМЕРНЫЕ УРАВНЕНИЯ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ
305
Только при условии устойчивости (коща ы > 0, а их < h) точка хт их Є (xm_l, хт) и P^+1 вычисляется интерполяцией. Если эта формула реализует экстраполяцию, она становится неустойчивой. Схема второго порядка (20) получается точно так же, но используется квадратичная интерполяция значений pm_1; р", Pm+1- Если интерполируемые значения не имеют нужного запаса гладкости, формальное повышение точности интерполяции может привести к худшему результату.
Схему (20) можно получить и другим способом, который часто используется при конструировании схем повышенной точности. Строится простейшая схема (14) и аккуратно вычисляется главный член погрешности аппроксимации. Для схемы (14) получаем
Рт ~Рт + и —+ и f? + f (ит - А) 0 + Oix1 + Л2).
Заметим, что при прямом вычислении появляется член 0.5три, но в силу уравнения р(( = и2рхх, и такая замена произведена. Теперь главный член погрешности переносится в левую часть, производная рхх заменяется конечной разностью и получается схема
(20), имеющая второй порядок аппроксимации на решениях уравнения переноса. Таким же способом можно получить характеристическую схему третьего порядка. Расчеты по этой схеме представлены на рис. 326. Характеристические схемы для уравнений газовой динамики основаны на их записи в форме (11). Для вычисления величин в узле (и + 1, т) из него проводятся три характеристики, в точках их пересечения с линией t = tn интерполируются величины из узлов (и, т').
