Введение в вычислительную физику - Федоренко Р.П.
ISBN 5-7417-0002-0
Скачать (прямая ссылка):
В различных руководствах по этому поводу можно встретить рассуждение такого типа. Дивергентное уравнение (5) «правильно» описывает эволюцию полной энергии е + и2/2, однако распределение приращений отдельных ее видов (внутренней е и кинетической U2IT) может оказаться нарушенным. Уравнение (8) «правильно» описывает приращение собственно внутренней энергии, но оно, к сожалению, недивергентно.
Из этого естественно возникает задача: построить такую аппроксимацию уравнения энергии, которая была бы и дивергентной, и «правильно» описывала бы изменение е. Такие схемы были построены, их называют полностью консервативными. Попробуем разобраться в этом вопросе. He случайно слово «правильно» взято в кавычки. Оно не имеет сколько-нибудь определенного смысла. Требование полной консервативности уже вошло в практику конструирования разностных схем, и все более или менее однозначно понимают ее, хотя это свойство, видимо, не имеет четкого определения.
Можно дать такое объяснение. Уравнение для е получается (в дифференциальной форме) из уравнений для е + U2IrI и и простой формальной выкладкой. Аналогичную выкладку можно проделать и для разностных аппроксимаций этих уравнений. Результат легко предвидеть: получается разностная аппроксимация уравнения для е типа (8), но с точностью до каких-то членов, пропорциональных т, h (с точностью до «аппроксимационных источников»). Это есть очевидное следствие простого факта: разностное уравнение совпада-
S 22]
РЕАЛИЗАЦИЯ РАЗНОСТНОЙ СХЕМЫ
331
ст с дифференциальным с точностью до погрешностей аппроксимации.
Схема называется полностью консервативной, если упомянутое формальное преобразование приводит к разностной аппроксимации уравнения для е, не содержащей упоминавшихся выше аппро-ксимационных источников и, следовательно, «правильно» описывающей эволюцию е во времени. Это почти определение, HO мешает маленькая деталь. А что, собственно говоря, означают слова «уравнение содержит аппроксимационные источники или не содержит»? И почему, если содержит, это нехорошо?
Вычислим эти «источники» для описываемой схемы. Умножим (2) на (и"+1 + ипт)/А и вычтем из (5). То же самое сделаем, используя (2) при значении т+ 1. После несложных преобразований получаем в качестве следствия формул (2), (5) разностную аппроксимацию уравнения (6) для е:
/."+I —рп Un+1 —ц"+1
т+1/2 т+1/2 . ? . -Чп + І »*+1 т ____ п (O')
----- r(p-rq)m + il2 J1 T Гт + Ц2> >
т+1/2
где
С + 1/2 = (1/4*2) KCVl - C+1)2 + «“ - O2I-
Это и есть пресловутый «аппроксимационный источник», превращающий «правильную» аппроксимацию (8) уравнения для е в якобы неправильную (9). Конечно, если бы кому-либо предложили на данной сетке аппроксимировать уравнение для е, едва ли кто-нибудь так сразу написал бы формулу (9), а формулу (8) написал бы всякий. С этой точки зрения аппроксимация (9) неестественна.
Ho все это имеет смысл лишь при простейшей технике составления разностных схем (производные заменяются самыми простыми, наглядными разностными аппроксимациями). Однако в настоящее время по мере усложнения задач, вида уравнений, сеток и т.п. все чаще в практику входят гораздо более сложные методы составления уравнений, в том числе и чисто формальные, когда выбирается шаблон, пишется общая комбинация величин в узлах шаблона с неопределенными коэффициентами. Значения таких коэффициентов затем определяются требованиями аппроксимации, устойчивости и какими-то дополнительными требованиями, совокупность которых делает выбор схемы однозначным (это так называемый метод неопределенных коэффициентов в построении разностных схем).
При такой технике (а к ней приходится прибегать все чаще) в полученных выражениях не так-то просто выделить члены, относящиеся к тому или иному члену дифференциального уравнения. Поэтому понятие «аппроксимационный источник», казалось бы, очевидное в данном случае, в действительности особого смысла не имеет. Тем не менее некоторый смысл есть, и мы попробуем его сейчас выявить. Начнем с того, что предъявим более определенные
332
ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ ФИЗИКИ
[Ч. II
претензии к дивергентной форме аппроксимации (4). Все нижеследующее основано на опыте автора и его коллег, входивших в группу И. М. Гельфанда. Серийные расчеты задач такого типа, однако, продолжались в сущности только до 1960 г., поэтому наша точка зрения отражает опыт тех лет.
Явные дефекты аппроксимации уравнения для полной энергии проявляются обычно в зонах сильного разрежения, когда происходит интенсивная «перекачка» внутренней энергии в кинетическую и и2/2 существенно превосходит е. В этой ситуации неизбежные погрешности приближенного метода решения могут привести к отрицательным значениям е. Это может произойти в одной-двух счетных точках, и этого можно было бы даже и не заметить, если бы не следующее крайне неприятное явление. В области е < 0 уравнения газовой динамики теряют физический смысл. С математической точки зрения они меняют тип, превращаясь из гиперболических в эллиптические: е < 0 означает «отрицательный квадрат скорости звука».
