Квантовая механика (с задачами) - Елютин П.В.
Скачать (прямая ссылка):
7. Оценить вариационным методом поляризуемость системы двух частиц,
взаимодействие которых описывается потенциалом
U (г) - - <7 6 (/•-"), .
в s-состоянии. Частицы считать заряженными, но кулоновским
взаимодействием пренебречь.
8. В случае с/2 > Ь2[та2 систему, описанную в предыдущей задаче, можно
считать по свойствам близкой к жесткому ротатору классической механики
Напомним, что непосредственное наложение связей в квантовой механике
невозможно. Найти уровни энергии такой системы.
9. Найти поправку второго порядка к уровням энергии "жесткого ротатора" с
дипольным моментом d в однородном электрическом поле.
РАССЕЯНИЕ
0. В главе 5 мы рассматривали стационарные состояния дискретного
спектра для задачи двух тел, взаимодействие которых можно описать
потенциалом U (г). При этом нас главным образом интересовали свойства
спектра, а не волновых функций. Если при г со потенциал взаимодействия
обращается в нуль, то при ? > 0 энергетический спектр будет непрерывным.
При рассмотрении состояний непрерывного спектра нашей основной задачей
будет отыскание волновых функций, удовлетворяющих определенным граничным
условиям.
Решение стационарного УШ
Яф = [? + ^(г)].ф = ?г1) (9.1)
при гсо имеет асимптотический вид ВФ свободного движения. Мы будем искать
решения УШ (9.1), которые при г-*- со имеют вид суперпозиции плоской
волны и расходящейся сферической волны:
ф (г) ^ еЛг + eikr. *(9.2)
Здесь мы ввели волновой вектор к, определяемый соотношениями
р-йк. Е = ^-: (9.3)
Выберем ось сферической системы координат в направлении волнового вектора
к падающей волны. Тогда такую ВФ можно записать в виде
pikr
% (Г, е, <р) etkz+/ (k; 6, ф) -. (9.4)
Волновую функцию (9.2) можно интерпретировать, по аналогии с
(3.25), как суперпозицию ВФ падающей частицы
с заданным импульсом р = Йк, испущенной источником,
166
удаленным на бесконечность, и ВФ частицы, рассеянной в центральном поле.
Поскольку гамильтониан Н инвариантен при поворотах вокруг оси г (оси
сферической системы координат), то граничное условие также можно выбрать
инвариантным:
фЛ(г, б, <р)я"е"* + /(е)^. (9.5)
Волновые функции, имеющие асимптотический вид (9.5), мы будем называть
волновыми функциями рассеяния, а задачу их отыскания - прямой задачей
рассеяния. Коэффициент при расходящейся волне в ВФ рассеяния (9.5)
называется 1т а
амплитудой рассеяния. b
1. Рассмотрим поток вероятности j (г), соответствующий волновой
функции (9.4). По определению
]=Й(Ф^*-Ф*т (9.6) '-/ 1
В пределе г оо, используя асимп- Рис- 30-
тотическое выражение для волновой функции и сохраняя лишь наиболее
медленно убывающие члены, получаем
- tikneiUr -f tik\f (в) е >-, (9.7)
Re а
где
п =
к
k
Подставляя (9.7) в (9.6), находим
f j = kn A (n + V) [/ (6) e-f +Г {е) е' +
1/(6) !2
-\-kv ¦
(9.8)
Преобразуем второй член в (9.8); рассмотрим интеграл от него в интервале
от 0 = 0 до в - л:
lim $/(6)e'fcrcos6dcos6 = / (a = cos0).
Г -v СО
Рассмотрим-контур, изображенный на рис. 30. При г -со интеграл по (а, Ь)
мал; при вычислении интегралов по ф, -1) и (+1, а) можно вынести значение
f (а) в точках
167
а =-1 и а -+ 1 из-под знака интеграла, так как экспонента меняется
значительно быстрее. Таким образом,
, / (а) = _ / ( +1) ешг+/ (-1) ^ е -"г.
Формально можно получить
lim eikra = -[е ikr8 (се + 1) ~elkr8 (а- 1)] (9.9)
Г->со
(только при интегрировании от а = -1 до а = -f 1) • Подставляя (9.9) в
(9.8), получим
(tm) ]=/гп-/гп~1т/(6) --^v) + kv (9.Ю)
Таким образом, при п Ф х полный ток ВФ рассеяния есть сумма токов
падающей (плоской) волны и рассеянной (сферической) волны. Интерференции
между падающей и рассеянной волнами нет. Полный ноток, рассеянный в
телесный угол dQ (не включающий направление 6 = 0),
JrdQ = />2dQ = ^|/(0)|2dQ.
Отношение полного потока - вероятности ВФ рассеяния в элемент телесного
угла dQ к плотности потока в падающей плоской волне называется
дифференциальным сечением рассеяния:
do 4/(6) I2 dQ.
Учитывая, что источники частиц при конечных г отсутствуют, интегрируя
(9.10) по поверхности большой сферы и переходя по теореме Гаусса
5 j dS = div j dV
s v
к интегралу по объему, получим
0=-^Im/(n, п) + 5 1/(4', п) |2 dfi.
Интеграл в правой части называется полным сечением рассеяния:
о = 51/(6) |2dQ.
Таким образом, получаем
Im/(0) = ^o. (9.11)
168
Соотношение (9.11) называется оптической теоремой. Его физический смысл в
том, что интерференция падающей волны с волной, рассеянной на нулевой
угол, приводит к выбыванию частиц из падающей волны, что обеспечивает
сохранение вероятности.
2. Стационарное УШ (9.1) может быть представлено в интегральной форме:
Ф (г) = X (г) - $ G0 (г, г')" (г') Ф (г') dr', (9.12)
где х(г) и С°(г, г') -общее решение и ФГ для УЩ сво-
бодного движения. Аналогичная форма радиального УШ рассматривалась в п.
5.11. По определению
(Дг + ?2)С(г, г') = 6 (г-г'). (9.13)
Как и в п. 5.11, будем искать ФГ в виде произведения
линейно независимых решений х(г)- В качестве таких решений можно выбрать
