Квантовая механика (с задачами) - Елютин П.В.
Скачать (прямая ссылка):
pi 2n ".j ' 2зт
ф/ = т, фГ = -т
и лишь асимптотически приближаются к действительной оси при х->±со.
Расположение линий Стокса [+]. И и сопряженных линий Стокса {0} показано
на рис. 23. Рассмотрим формулы связи для ВКБ-решений на 01 и на 02:
Фс = Фо, Фд = Фо,
Фл = Фо +е 2 (7-33)
По правилу Хединга на 02 функция соответствует потоку вправо, фо - потоку
влево, на 01 направления обратные. Деформируем контур интегрирования для
х, далеких от а, придвинув контур к действительной оси и разрезу
143
(рис. 24). Тогда
х а х х
i ^pdx^i^pdx + i \pdx. (7.34)
Xi Xi a s
Положим
& = Im?- § p(x)dxj.
Тогда на левом берегу разреза первый из интегралов в правой части (7.34)
есть - k/2 и
Фо+
к л
--0- + 1
2 ф?, Фо
_ k л
2 2 Фл, Фо^е 2
где введено обозначение
1
Ф/?>
(7.35)
4.L-
V\p
: exp
[± iIр (*) dxj,
а индексы R, L соответствуют потокам вправо (R) и влево (L). Направление
определяется по правилу Хединга
для ВКБ-решенйй ф^. Подставляя (7.35) в формулы перехода (7.33), получим
- i - - k
(А) фд + <? ' 2 ф?-*-
ч-ф%(С). (7.36)
Рис. 24.
Rex этой формулы очевидна. В области С существует только поток вправо
(распространение частицы, прошедшей за барьер). В области А существуют
потоки вправо и влево. ВКБ-выражение для коэффициента над-барьерного
отражения, согласно определению, данному в п. 3.3, есть
11- 1ш J 1/2m[E-U(x)\ dxJ. (7.37)
R(E)
-2k .
exp ¦
7. Применимость квазиклассических выражений для коэффициентов прохождения
и отражения можно оценить
144
с помощью уравнения непрерывности. Для подбарьерного прохождения
/л = 0, jc - D(E)
(мы предполагаем, что поток вправо в области А нормирован на единицу).
Аналогично, для надбарьерного отражения
lim /Л = 1 - R(E), lim/c=l.
Таким образом, область, в которой потенциал U(х) заметным образом отличен
от нуля, действует как источник частиц. Это физически
неудовлетворительно; поэтому выражениями (7.31) и (7.37) можно
пользоваться только при условиях
?>(?)< 1, Я(?)< 1.
Эту трудность можно обойти, потребовав, чтобы коэффициент при
экспоненциально большой на линии Стокса функции (ф+ на линии [-], я|г на
линии [+]) менялся так, чтобы выполнялось уравнение непрерывности.
Полагая (для подбарьерного прохождения)
. ЗТ
+ е ' 2 1|фч-е-
и требуя сохранения тока в асимптотической области, получаем
оф i - V Т+е^2*,
откуда
<7М>
Аналогично, для надбарьерного прохождения
D(E)= R(E) = г^. (7.39)
Такое приближение, лежащее за пределами метода ВКБ, называется
приближением Кембла. Коэффициенты D (Е) и R (Е) в приближении Кембла дают
результат, близкий к точному, при любых Е для полей с потенциалами U0f
(х/а) при
?2<1.
Отметим, что при E-U0 в этом приближении D = R - 1/2.
145
Представим выражение для коэффициента надбарьер ного отражения (7.37) в
виде
Для высоких энергий (и2^>1) интеграл в правой части может быть
представлен как разложение по степеням к-1:
R (Е) = exp [- f(a,+...)]. (7.40)
Очевидно, наиболее существенную роль играет первый член (7.40):
R (Е) ъ exp (- 0l I) = exp (- Gl УЕ).
Показатель экспоненты не содержит характерной глубины потенциала U0.
Таким образом, в приближении ВКБ коэффициент отражения при заданной
энергии останется конечным и при ?/"-> 0, что физически
неудовлетворительно. Поэтому для рассмотрения надбарьерного отражения
частиц высоких энергий точность принятых асимптотических решений
оказывается недостаточной *.
8. Выше мы рассматривали ВКБ-решение для одномерного УШ (7.1).
Результаты могут быть использованы и в тех случаях, когда УШ допускает
разделение переменных в криволинейных координатах. Особенно большой
интерес представляет случай центрального поля U (г) - = U0f(r/a), так как
к этому случаю приводит задача двух тел. Уравнения для радиальной R (г) и
угловой Y (в) частей ВФ имеют вид
<7-4|>
•жтаНж) + (-'4--даг)>'=0; <7-42>
здесь А - константа разделения. Эти уравнения относятся к типу более
общему, чем (7.1), а именно:
(7.43)
146
Такое уравнение можно привести к виду (7.1) бесконечным числом способов,
определенных с точностью до произвольной непрерывной функции у (х);
замена
У = У{х), =¦
VpW у (х)
сводит уравнение (7.43) к квазиклассическому виду
^ + W МР tr W + s (*И Ф = °"
где
^W = ^ln[pW'/'Ml-
Соответствующее квазиклассическое решение (в исходных переменных) имеет
вид
Ф± х) = [/• (X) + S (*)]- '/4 ехр
±i § У г (х) + s (х) dx
xk
(7.44)
В качестве дополнительного условия потребуем, следуя Пономареву, чтобы
квазиклассическое решение (7.44) в особых точках уравнения (7.43) имело
степенную асимптотику.
(x) = xv(c1 + c2x + ...)
с тем же показателем v, что и точное решение. В случае, когда р(х) имеет
простой нуль, этому условию отвечает преобразование
у = § р^) • ^ ^ wi *=$ м" (7-45)
приводящее к равенству
s (х) = 0.
Для уравнения (7.41) эта процедура нуждается в изменении, так как р(х)
имеет нуль второго порядка. Начнем с уравнения (7.42):
у (б) = In tg (6/2).
147
ВКБ-решение в классически доступной области есть
Y (0) = ¦¦ 1 ¦¦¦=¦ cos
