Квантовая механика (с задачами) - Елютин П.В.
Скачать (прямая ссылка):
(9.44)) есть сумма парциальных сечений рассеяния в состояниях с заданными
I:
0/ = -^(2/+l)sin26,. (9.46)
177
Парциальное сечение можно выразить через парциальные амплитуды,
определяемые соотношением
/ (б) = 2 U (2/ + 1) Pi (cos б). (9.47)
I
Из сравнения с (9.43) находим
а из (9.46) получим выражение для парциальных сечении через парциальные
амплитуды:
О/ = 4л (21 +1) | /) I2-
8. Рассмотрим радиальное УШ в поле с короткодействующим потенциалом U
(г)
|> i {г2?) ~ ~ и (г) + #"] tfo (г) = 0. (9.48)
Рассмотрим рассеяние медленных частиц (т<;1). Тогда
в области А (рис. 33) (при г>/?), где
в уравнении (9.48) можно пренебречь и потенциалом U (г), и членом /г2.
Решение в области А, согласно (5.6), имеет вид
фл = c1/•^ + ^^/'(г+1,. (9.49)
Вобласти В {r^>,k гУ I (7+1)) становится существенным член с к2. УШ
превращается в уравнение для свободной частицы с энергией к2 и моментом
I. Его решение, согласно п. 9.6, можно представить в виде
+ = Axji (kr) + Ami (kr).
Асимптотики сферических функций Бесселя при малых г суть
•/ч . . (21- 1)!! /п
---------, n,(z)^ - -----. (9.50)
, w (2/ +1)1! ' ' zl+i У
Потребуем, чтобы в области А решение фв переходило в фл . Тогда
fp' Используя асимптотики функций Бесселя при больших г ' ; * (9.35),
найдем
/- - й (2/+1)!! 1 . (, ln\ , k1 1 (, Ы
' Фг ^сх v ^ sin [кг + с*---------------------------cos kr --
-Р' k1^ г \ 2 ) " (2/- 1)!! г V
. 'Это выражение можно представить'в виде i' . Ri^ у sin (kr - +
б,), (9.51)
t где
tg6i = - (2/_ 1)|! (2/+l)!l ' (9.52)
Из выражения (9.52) видно, что при достаточно больших I Н при данном k
tg6,^6, стремится к нулю. Парциальные амплитуды
Отсюда в предельном случае малых k
Таким образом, при рассеянии медленных частиц (т<Д) все парциальные
амплитуды с I Ф 0 малы по сравнению с амплитудой рассеяния s-волны (/ =
0). Поскольку Ро (cos 0) = 1, рассеяние медленных частиц изотропно. В п.
9.4 мы пришли к такому выводу в рамках борцовского приближения. Отметим,
что выполнение условия малости фаз б, при I -/¦- 0 облегчается из-за
больших числовых множителей в знаменателе (9.52). Даже при 1
60^96^22562.
9. Задача о рассеянии медленной частицы на короткодействующем
потенциале представляет интерес как модель для описания рассеяния
нуклонов. Характерный размер межнуклонного потенциала а ^2-10-13 с.м\
частицы будут медленными при Е < 5 Мэе. Для рассеяния медленных частиц
малых энергий свойства короткодействующих потенциалов можно/ полностью
описать двумя параметрами: длиной рассеяния а и эффективным радиусом г0.
Рассмотрим УШ при 1 = 0:
¦уууг + [&2 - н (г) j ф = 0. (9.53)
179
Пусть ф! (г) и фа (г) - решения (9.53) при E = kj и E = k\,
удовлетворяющие граничным условиям в нуле и имеющие асимптотики
ф1 ^ ЖёГsin ^+6l^' фз ^'¦*" ЖёГ sin + 6'2^
(9.54)
Из (9.53) следует:'
R
(ф2 - "Pi * = (Щ - k\) jj ф1ф2 dr, (9.55)
о
где величина R произвольна. Пусть ул, ул - решения УШ свободного
движения, совпадающие с асимптотиками (9.54). Тогда
(& ^--У, %-) |* = (kl - k\) J Х1Х2 dr. (9.56)
о
Вычитая (9.56) из (9.55) и переходя к пределу при оо,
получаем
R
h ctg 62 - К ctg 61 = (14 - Щ) I (УлУ.2 - Ф1Ф2) dR. (9.57)
о
Предел амплитуды рассеяния при 6->0, взятый с обратным знаком, называется
длиной рассеяния:
--*= lim [6 ctg 6(6)].
а *-"о
Полагая в (9.57) k.1 = k, бх-э-0, получаем *ctg"=-!+f*\
где
СО
^0 = 25 (ХоУ - фоф) dr. (9.58)
о
Поскольку асимптотики ф и ф0, у и Хо совпадают, интеграл в (9.58)
определяется главным образом областью, в которой U (г) имеет заметную
величину. При т <11 в этой области ВФ не будет сильно зависеть от 62, и
можно положить, с точностью до членов 62, фр^фо,
180
Тогда
1 ' kctgb = -±+'l-k\
где величина
со
г0 = Ц (%1-W)dr (9.59)
о
" называется эффективным радиусом потенциала U (г). Пол-: кое сечение с0>
выраженное через длину рассеяния а и эффективный радиус г0, имеет вид
с = 4лй2 + й (й - r0) k2 -f г"а)2 &4j 1.
В пределе при &->0 получаем
о - 4лЯ2.
Знак длины рассеяния зависит от параметров потенциальной ямы.
. 10. Рассмотрим рассеяние на сферическом потенциале: U(r) = U0 (г <а),
(9.60)
U(r) = 0 (г>а).
Знак и абсолютная величина U0 произвольны. Уравнение Шредингера во
внешней области:
- • +
Во внутренней области:
где q2 = k2 - U0. Рассмотрим вначале случай q2 > 0 (потенциал притяжения
или слабого отталкивания). Тогда решение ф;(г), конечное при 0, во
внутренней области есть
q>l(r) = Cjl(qr).
Вне ямы
% (г) = Ап (kr) + Вtii (kr).
Из граничного условия на бесконечности имеем А = 4ttiVe* cos 81,
В = - 4tttV6/ sin б/.
181
Потребуем равенства функций и логарифмических производных в точке а.
Тогда из первого условия следует
С = 4ni'ei6< cos б,
h (6)
Из второго условия имеем
ПФ) , /H'l-tgV "iif)
У i/ф) 1 //(T) + tg6/-n/(T) >
где
6 - qa, т - ка.
Ограничимся случаем медленных частиц (т< 1). Тогда основную роль играет
рассеяние s-волны. Решение однородного уравнения Шредингера:
... sin х , ч cos х
/о(*)=-"оМ = -•
Отсюда
Условие сшивания дает
