Квантовая механика (с задачами) - Елютин П.В.
Скачать (прямая ссылка):
Формула (9.78) хорошо описывает зависимость сечения от энергии при
рассеянии нейтронов на протонах в три-плетном состоянии (связанное
состояние с энергией е = ?= - 2,23 Мэе) и в синглетном состоянии
(виртуальное состояние с энергией е = + 0,06 Мэе).
т".
ш
г
1ш к i
< 1
1 >¦ Re А
>1
Рис. 36.
,+ : 15. Матрица рассеяния может иметь особенности и вне
1.7-'мнимой оси. Их расположение подчинено определенным fey требованиям
симметрии. Пусть S7 (к) имеет полюс в точке ^ = <? + гх. Тогда из формулы
Ыг" j.l = eim3l4K (г)
'Следует равенство
Si(k) = Sjl (-к). (9.80)
'йй';Таким образом (рис. 37), полюсу в точке 1 соответствует 7>?йуль в
точке 2, симметричной относительно начала коор-F:;'Динат. Далее, из
соотношений
J(?)]*> т: (г*) = [Щ (г)]*, иг (г*) = [Ш'(г)]*
^следует равенство
pj St(k*) = S?(k). ' (9.81)
Ду Поэтому St (к) будет иметь полюс в точке 3, симметрич-у5*^дой точке 1
относительно действительной оси, и нуль Ж точке 4.
'¦ В верхней полуплоскости St (к) имеет полюсы только на мнимой оси. В
самом деле, полюсу в точке k0 - q-\-i% [•^соответствовало бы регулярное в
нуле решение с экспо-^ф-:"енциально убывающей асимптотикой. Поэтому ср7
(fe0r)
Тй?:
191
было бы квадратично интегрируемым решением УШ, соответствующим СЗ Е = (q2
- к2) + 2iqy., что несовместимо с требованием эрмитовостн гамильтониана.
Состояния, которым соответствуют пары полюсов в нижней полуплоскости
комплексного k, называются квазистационарными состояниями. В окрестности
такого полюса Si (k) имеет вид
'' k - q - ix
Сечение рассеяния равно
- 51S - I |*- g[l - f=|cos 2Д +^-,Sin24]; (9.82)
здесь введено обозначение g = k - q. При g - О o?"^(l-|-cos 2Д),
и при небольших фазах Д это сечение близко к максимально возможному. При
к < q зависимость сечения от волнового числа k имеет явно выраженный
резонансный характер. Формулу (9.82) при k^q, q^s>x принято записывать в
виде
{(?-?0)2+гг/4 - 4 sm Д (?-?")+,-172] +
+ 4 sin2 Д|, (9.83)
где величина E0 = h2 (2m)1 (q2 - у?) называется резонансной энергией, а
величина Y - %2m-1qx. называется шириной резонанса. Первый член в
фигурной скобке (9.83) соответствует резонансному рассеянию на
квазистационарном уровне, третий член называется сечением потенциального
рассеяния, а второй описывает интерференцию между потенциальным и
резонансным рассеяниями. .
16. Все результаты, полученные с помощью рассмотрения рассеяния
парциальных волн, предполагают конечность фаз б/ и относятся
к потенциалам и (г), убываю-
щим при /--> со не медленнее, чем г 2. Кулоновский потенциал,
представляющий особый интерес, этому требованию це удовлетворяет. Однако
для рассеяния частиц, взаимодействующих только по закону Кулона, можно
получить точное выражение для ВФ рассеяния.
Задача рассеяния обладает аксиальной симметрией. Поэтому удобно
использовать, как и в п. 8.1, параболические координаты, допускающие
разделение переменных
192
r 't>=f№g(id'
Уравнения- имеют вид (в кулоновских единицах)
^(б|) + (т6-Р.)?=0. <э-ад
4("|) + (тч-ь)в=°. (8-86)
где параметры разделения ръ р2 удовлетворяют условию Pi+ §2 = 1-
Граничное условие
= (г = (Е-ч)^-оо) ' (9.86)
можно выполнить при всех положив
^подстановка в (9.84) дает Pi = ^rj- Тогда из (9.86) следует граничное
условие для g(t]):
g(n)~e-^4 (ч-*00)-
Уравнение (9.85) переходит в
ч(4) + (т',-,+*)'-°- (9'87)
'"Ищем решение в виде
__ik
g(tт)=е 2 nw (г|)
(ср. (5.23)). Тогда (9.87) дает
-j- (1 - ikr\) wr - да = 0.
Полагая x = ikr\, получим
да = const F(-ilk, 1, х).
При больших х справедливо асимптотическое представле--ние для вырожденной
гипергеометрической функции
' Vi *) = f(a) ха уех х
_|_ (и -l)(g-у) (а- 1) (к-2) (ю--у) (а-у - 1) _J_ j
I Г (у) v-a.ciait Г (а-у) е Х
>ф 1 | "("+1)(У -"-1)(У -" -2) | j
7 П. В, Елютин, В. Д. Кривченков ]93
X
Сохраняя члены до ту1 включительно (члены высших порядков не дадут в
пределе г-*-оо вклада в ток jr)f получим
ехр21+тЫк'Ч< , 1 \
F (&> Y> I^Ti) Г (1 Ч-t/fe) \ i/?2J
exP^k~Tlnkl]+ikr]
Г(1 -ik) k2r] •
Перейдем к сферическим координатам
т) = г(1 - cos 6), ? = /-(1-fcos 6).
Тогда ВФ задачи рассеяния примет вид
Ш2к
6) = ^ j- (1 + i/k) Х
х [1 + №мгЬб?6)] ex?[ikr+тln kr (11 - cos е)] +
n'2ft exp i&r-ln kr (1 - cos 6)
+Л Г(1-?/*) k*r (1 -cos 0) (9-88^
Нормировочную постоянную А определим, потребовав, чтобы коэффициент при
падающей плоской волне был равен единице. Тогда
Л-ехр[(-Л)г(1+{)]. (9.89)
Используя (9.88), (9.89) и определение амплитуды рассеяния, получим
т"_2т^4ехрН'(tm)л1)-Нт^1- (9-90)
Выражение для дифференциального сечения рассеяния в обычных переменных
имеет вид
o(0> = (gfsin-'j. (9.91)
_ Выбранные в уравнениях (9.84), (9.85) знаки соответствуют потенциалу
отталкивания. В случае притяжения величина (9.90) заменяется комплексно-
сопряженной, а выражение для сечения (9.91) остается неизменным. Наличие
члена г1 в амплитуде падающей волны и логарифми-
194
f^qecKHX членов в фазах связано с медленным убыванием -кулоновского поля.
