Квантовая механика (с задачами) - Елютин П.В.
Скачать (прямая ссылка):
<7ctg6 = ?ctg(T+60),
откуда
б0 = arctg tg ej - т,
или
- tge-tgx
Wo-3-; . (9.61)
i+- tgetgr
4
а) Рассмотрим случай ямы малой глубины: | и0 | К1,
g^k. Тогда, учитывая асимптотики при. малых х
tgx^x + 4^, f arctgхx >
для рассеяния медленных частиц получим, сохраняя в разложении члены до
третьего порядка,
s , те2 т3 k (а~-k~) "
б0 = т4-j------з - -'-а3,
или
б0 = -к
182
Длина рассеяния (парциальная амплитуда s-волны)
\
Для ямы малой глубины знак длины рассеяния совпадает со знаком
потенциала. Сечение
а = 4 л а2 = л-g g~4a2
не зависит от энергии.
б) Рассмотрим случай потенциала сильного притяжения
Тогда
щ <0, | и01 > к2.
k k
<1, tgr<l
и в знаменателе (9.61) можно пренебречь вторым членом
по сравнению с единицей. Положив tgx^ax, получаем
tgao^r(-^-l).
Рассмотрим .зависимость tg60 от 0 (рис. 34). При значениях 6и"
определяемых условием
6K=(2n+l)f, (9.62)
сечение достигает максимального значения
4я
О =
к2 *
Значения k2, соответствующие максимальным сечениям:
называются виртуальными уровнями энергии. Если &->0, то условие (9.62)
выполняется при
Y и0а = (2п-\-1)
л
Это выражение совпадает с условием возникновения связанного s-состояния в
сферической яме. Виртуальный уровень имеет в этом случае нулевую энергию.
Длина рассеяния обращается в бесконечность.
При некоторых значениях 6^, таких, что
tg Qr = (9.63)
фазовый сдвиг и сечение рассеяния обращаются в нуль. Явление, состоящее в
резком уменьшении сечения рассеяния медленных частиц при некоторых k,
называется эффектом. Рамзауэра. Эффект был обнаружен экспериментально при
наблюдении рассеяния электронов на атомах инертного газа. Хотя
эффективный потенциал взаимодействия электрона с нейтральным атомом не
является короткодействующим в смысле определения, данного в п. 9.5.
(u(R)^R * при R-+-оо), но вывод п. 9.8 о доминирующей роли s-рассеяния
при малых k остается в силе, так как требует лишь более быстрого убывания
потенциала и (г) по сравнению с г 3. Для волн с 1ф 0 условием
применимости (9.52) является
H(/-) = o[r<2,+")].
Только в этом случае законно пренебрежение в области А членом U (г) Rt
(г) ^ П0схг' по сравнению с членом I (I -ф1) х xr~2Rt^l (l4- \)r~Us.
Отметим, что эффект Рамзауэра имеет место при значениях qR, близких к
значениям qv для виртуальных уровней. При заданном k с ростом глубины ямы
значения <)R и Qv становятся близки
6ki=2^1,57, 6^4,49, 6^4^4,71.
В области
Од (Л'-ц < V 11 ча < Qvn длина рассеяния положительна. Напомним, что все
результаты относятся к случаю малых k. При этом значения q могут быть,
понятно, сколь угодно большими.
в) Рассмотрим случай q2<z0 (потенциал сильного отталкивания). Тогда во
внутренней области
, , п cw-c "
Фо (^) = С ^------.
I Ж-Условие сшивания решений дает уравнение для опреде-[ *=•* ления фазы
! Щ х cth xa = kctg (т-| 6"),
w-
*? , б0 = arctg th xoj - т.
§? Для рассеяния медленных частиц (т 1, /г2 <: ии)
60 ^ - т.
Интегральное сечение рассеяния
- о.=4я (9-М)
В пределе (k2/uv) ->0 условие медленности частиц т<1 становится
несущественным. Для рассеяния на непроницаемой сфере ("0 -> со)
а0==4яа2,
что в четыре раза превышает классическое значение.
г; • 11. При рассмотрении в предыдущем пункте рассеяния
медленных частиц на сферическом потенциале мы видели, : v что величина
сечения тесно связана с положением дискрет-ных уровней. Единым образом
состояния дискретного и непрерывного спектров можно рассматривать, считая
k комплексной величиной. В этом пункте мы получим инте-тральное уравнение
для парциальных ВФ рассеяния, кото-I рое послужит основой для дальнейшего
рассмотрения.
Найденная в п. 9.2 ФГ для свободного движения может быть представлена в
виде
j.:- G0 (г, г', k2) = (2n) 3 \ ф dqG(l (ф, ke)^d ae'q(r_r'). (9.65)
В последнем интеграле используем формулу для разложения плоской волны
' е* " = Y-2z 2 (2l + 1)J>(z) Pi (C0S 6) '
где l - 1/2. Тогда получаем
оо
i Go (r, r', k2) = (2л) 3 jj ф dq Go (ф, k2) -X
о 4 r
x \d& [2 (2/+ilJ* ^r) pi (na)J X
x IS (2h + 1) (- /)'* К {qr'i) Pit (an;)].
185
Интегрирование по угловым переменным можно провести, используя теорему
сложения для полиномов Лежандра:
СО
Со (г - г', k2) = (2л)-3 -5=- [ q dqG0 (q2, k2) X 2 1 " o'
X 2 (21+ 1) (2h + 1) i' (- i)l'h (qr) Д, for') X
i. /i
в",Р,(п.'п).
Таким образом, ФГ для свободной частицы может быть представлена в виде
суммы парциальных ФГ:
С? (г-г', У (21+1) СГ (г, r\ k2)Pt( пп'),
4л у гг **
(9.66)
ОО
в?(г, г', И = -5 <7 dq AgA(|l = _ {kr) j) {kr'h
Здесь Щ] (г) есть первая функция Ханкеля.
Пусть ф+(к, г) есть решение уравнения Шредингера, удовлетворяющее
граничным условиям задачи рассеяния. . Разложим ф+ (k, г) по парциальным
волнам:
(к, г) = 2.<2/+ 1} ^{kr) Р> {ПП']-
Тогда парциальная ВФ фф (kr) удовлетворяет интегральному уравнению
ОО
ф/+ (kr) = J), (kr) + J r'Gt (r, r', k)u (г') ф,+ (kr') dr'.
о
Используя явный вид парциальной ФГ (9.66), получаем интегральное
уравнение
Г
ф/ (kr) = ./>_ (kr) - ~ Hi (kr) ^ г'J; (kr') и (г') Ф/+ (kr') dr' -
