Квантовая механика (с задачами) - Елютин П.В.
Скачать (прямая ссылка):
У sin 6р (6)
где
¦(0) = у-
т2
sin26 -
Константу разделения определим из условия квантования
6* _______________
Г V- А(1 - х*)-т? , ( , 1\
) г=У------------------Лг=я(пе+Т),
е,
где х = cos 6. Вычисляя интеграл, получаем
А = - ("е+1 т | +1/2)2 = - (1+ 1/2)2 = - Я2, что отличается от точного
значения константы разделения A0 = -l(l+l).
ВКБ-решение для угловой ВФ имеет вид Y 1т (0) = л[ - 1. h?- -^-Г1/4 х
г л |/sin 6 \ sin2 О У
X cosU УК-------------- d0 - -^.
Г sin2в 4 J
При A2^>m2sin-20 это выражение переходит в
Л/ /ел 1 ГYK 1 тл л
У 1т (б) = У - jr^COSlM -
* л к sin 6 \ 2 4
Подставляя полученное значение константы разделения А в уравнение (7.41)
и используя преобразование Пономарева (7.45), которое в настоящем случае
имеет вид
У(г) = г~\
найдем квазиклассическое решение радиального уравнения.
Собственные значения энергии определятся из условия квантования для
радиальной компоненты
148
Отметим, что для любых несингулярных потенциалов квазиклассическое
радиальное УШ имеет по крайней мере одну действительную точку поворота
при любых энергиях, так как даже в s-случае центробежный потенциал
отличен от нуля.
ЗАДАЧИ
1. Показать, что ВКБ-решение применимо тем ближе к действительной точке
поворота, чем больше в ней U' (х).
2. Найти ВКБ-спектр гармонического осциллятора.
3. Найти ВКБ-спектр частицы в потенциале Морза
U (x) = U0(ex/a-l)2..
4. Найти ВКБ-спектр частицы в потенциале
U (*)=- U0ch~2(x/a).
5. Найти ВКБ-спектр частицы в потенциале
U (х) = U0 tg2 (лх/а), ) х | < а/2.
6. Найти ВКБ-спектр частицы в потенциале
7. Найти ВКБ-коэффициенты D (Е), R (Е) в поле с потенциалом
U(x)=-~xK
Использовать приближение Кембла. Сравнить с точным решением.
8. Разложив потенциал
U (х)~и0 ch'2 (х/а)
до членов ~ Л-2, найти ВКБ-коэффициенты D(E), R (Е) при Е U0, используя
результат задачи 7.7. Сравнить с разложением точного решения при ?2 < I.
9. Найти ВКБ-коэффициент R (Е) для частицы в поле
Рассмотреть случаи U0 >0, U0 < 0.
По принципу построения формул связи ВКБ-приближение пригодно для решения
УШ только с аналитическими потенциалами. Однако в ряде случаев для оценки
коэффициента подбарьерного прохождения D (Е) можно использовать и
разрывный потенциал, так как интеграл в показателе экспоненты (7.31)
нечувствителен к наличию разрывов. Для рассмотрения надбарьерного
отражения использование разрывных потенциалов недопустимо.
149
10. Оценить ВКБ-коэффициент прохождения D (Е) в поле с потенциалом
(рис. 25)
U (х) ^ - U0 (х<0),
U (х) "="-Fx (х > 0).
Такой потенциал представляет интерес для описания холодной эмиссии
электронов из металла в электрическом поле напряженности F. Величина U0
соответствует работе выхода.
Рис. 25. Рис. 26.
11. Показать, для радиального УШ в сферических координатах использование
точной константы разделения Л0=/(/+1) и преобразования .Пантера
y(r) = lnr
приводит к тому же ВКБ-решению, что и преобразование Пономарева.
12. Найти ВКБ-спектр частицы в кулоновском поле.
13. Найти ВКБ-спектр сферического осциллятора
i/и-=?.
14. Показать, что в квазиклассическом приближении условие существования
связанного состояния в поле
U (г)=-у//-2
совпадает с точным.
15. Найти условие ВКБ-квантования для уровней энергии в потенциале,
имеющем вид двойной ямы (рис. 26).
Глава 8
ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ
0. Многие физические свойства веществ определяются в конечном счете
кулоновским взаимодействием электронов и ядер. Поэтому задачи о спектрах
систем заряженных частиц представляют большой интерес. Простейшая задача
о спектре частицы в кулоновском поле была рассмотрена в главе 5. В этой
главе .мы рассмотрим более сложные случаи, используя приближенные методы.
1. Рассмотрим расщепление уровней атома водорода в однородном
электрическом поле (эффект Штарка). Пусть напряженность поля F такова,
что энергия расщепления мала по сравнению с разностями уровней
невозмущенного спектра, но велика по сравнению с энергией спин-орби-
тального взаимодействия (см. главу 10). Потенциальная энергия в атомной
системе единиц имеет вид
?/(rje_i+ft. (8.1)
Так как функция U (г) инвариантна относительно вращения вокруг оси г, то
проекция 1г является интегралом движения. Далее, при отражении в
плоскости, проходящей через ось г, проекция lz изменяет знак, а функция U
(г) остается неизменной. Следовательно, стационарные состояния,
отличающиеся только знаком проекции момента, имеют одну и ту же энергию.
Невозмущенные стационарные состояния атома водорода вырождены с
кратностью п2. Если в качестве базиса при вычислениях по теории
возмущений выбрать общие СФ операторов Н0, I2 и 1г> то при заданном
значении т для отыскания первой поправки к энергии надо решить секулярное
уравнение степени (п - \т\).
Задачу можно упростить, если в качестве базиса взять другие функции,
симметрия которых соответствует симметрии U (г). Характер потенциального
поля таков, что
151
начало координат является выделенной точкой, а направление электрического
