Квантовая механика (с задачами) - Елютин П.В.
Скачать (прямая ссылка):
энергии основного состояния отрицательна. Следовательно, в поле с четным
потенциалом U (х), удовлетворяющим условиям
Мо<0, | Л4х | <оо, |М2 | <оо,
всегда существует связанное состояние.
12. Прямой вариационный метод связан с теорией возмущений. Из (6.10)
следует, что вычисление поправки первого порядка к уровням дискретного
спектра есть вычисление ? с ВФ невозмущенного уравнения в качестве
пробной функции. Очевидно, это не наилучшая пробная функция.
Вычисление поправок второго и более высоких порядков в общем случае
сводится к суммированию бесконечных рядов (6.16). Приближенное вычисление
может быть проведено с помощью вариационного метода. Пусть
?оФт = Егп(рт.
Для определения СЗ гамильтониана Н = Н0-\- V выберем пробную функцию в
виде
Ф = фт + Хот.
где Хт выберем ортогональной к фт; этому условию можно удовлетворить,
выбирая
Хот ~ @kfPk-
Ьфт
Вычисляя среднюю энергию ?, получим
'101 _ р(1) I о/(tm) ll/I., \ 1 (%т [ Н - Ещ 1 Хт)
Опуская члены третьего и более высоких порядков малости, получим
Еп = + Ет + 2 (срт | V | Хт> + <хт I
я - ?Я? | Хт>. (6.51)
Условие стационарности правой части (6.51), накладываемое вариационным
принципом, приводит к уравнению
Сравнивая с формулой (6.8)., находим, что Хт = фт- поправка первого
порядка к ВФ. В тех случаях, когда решение (6.52) или, что то же самое,
вычисление суммы (6.16) затруднительно, приближенное значение Ет может
быть получено минимизацией функционала в правой части (6.50).
13. Иногда для оценки СЗ системы с гамильтонианом Н = Т пробную
функцию удобно выбрать в виде
линейных комбинаций СФ частей полного гамильтониана (например, СФ
операторов = T-\-Ui). Такой подход называется методом линейных
комбинаций. Положим
Последний интеграл не обязательно равен 6". Пусть, например, H =
fJrU1(x)-\-U2(x). Тогда функции ф1°'(*) и фа01 (х), описывающие основные
состояния систем с гамиль-
S12 заведомо не обращаются в нуль. Вариационные параметры находятся из
условий стационарности Е:
(Н0 - Е'т) Хгл+ Уфт = ?тфт- (6.52)
п
( = 1
Тогда
2 2 atPkflil
С I
где
Hu = \^H^dq,
(6.53)
Su = $ ф'ЛфГ dq.
(6.54)
тонианами Нг - Т иг и Я2 = Т -f- U2, не имеют узлов и
1 i ^ п.
124
Эти условия дают п однородных линейных уравнений
S (Hu-ESu)a, = 0. ' (6.55)
i= 1
Условие их совместности - равенство нулю детерминанта системы (6.55) -
дает уравнение n-й степени, п действительных корней которого являются
приближенными значениями энергии. Коэффициенты akl, ак2, ..., окг опреде-
деляются подстановкой Ек в (6.55) и дают % -ВФ состояния, обладающего
энергией Ек.
Отметим, что если в качестве ср/" использованы произвольные
ортонормированные ВФ, соответствующие вырожденному с кратностью п
состоянию с энергией Е0, то
Н|7 ¦-¦ До> ^ik '
и условие совместности (6.55) приводит к секулярному уравнению (6.25)
теории возмущений с вырождением. Рассмотрим случай п - 2. Тогда уравнения
(6.55) имеют
вид
ai (fin ESll) (ff гг - ESU) = О,
Oj (Hi2 - ESl2) -f- ci-2 (H22 - ES-22) = 0. Детерминант этой системы есть
Det (Я) = (Нп - ESn) (#22 - ES22) - (Я" - ?S12)3. Введем обозначения:
Тогда
р fill Р Я22 р - р ^1 -• о , 2-о ",
Оц 022
^P- = (Ei-?) (Е2-Е) -{H\-ESl*)2,
0ц022 *->11^22
В силу неравенства Коши SUS22 S'i2, поэтому при достаточно больших Е Det
(?)>(), а при E - Ei и Е - Е2 Det (Е) < 0. Следовательно, один из корней
уравнения Det (Е) = 0 лежит при Е<.ЕЪ т. е. ниже нижнего невозмущенного
уровня, а другой -при Е>Е2, т. е. выше верхнего невозмущенного уровня.
Таким образом, учет возмущения методом линейных комбинаций приводит к
отталкиванию уровней.
14. Используем изложенные приближенные методы для решения задачи об
одномерном движении частицы в поле
125
с периодическим потенциалом V (х). Рассмотрим случай сильной связи, когда
ВФ частицы локализована вблизи минимумов потенциала V (х).
Найдем уровни энергии частицы в поле с потенциалом
V (х) = ^и (х - па),
П
считая известными СФ и дискретные СЗ уравнения
Я0фm = + U (*) Фm = ЕтФ". -
Пусть Е0 есть энергия одного из уровней гамильтониана Н0. Используем
метод линейных комбинаций. Выберем пробную функцию в виде
Ф(*) = 2^"(Р(* -по)- (6.56)
П
Функции ф (х - па) удовлетворяют уравнениям
- 2^ ф" (х - па) ф- U (х - па) ф (х - па) - E0q> (х - па). Используя
равенство (6.55), получаем систему уравнений 2An(ffmn-ESma) = 0.
(6.57)
П
В силу периодичности потенциала интегралы перекрытия Smn зависят только
от разности т - п. Матричные элементы Нтп удобно представить в виде
Нтп - E0Sm-n 4~ Нщ. п,
где введено обозначение
hm-n - \ Ф (х - та) 2 Е (х - па) iр (х - па) dx.
п'фп
Таким образом, система (6.57) принимает вид
2^[fcm-n-(?-?o)Sm_nH0. (6.58) '
п
Поскольку потенциал V (х) периодический, можно потре--бовать, чтобы
пробная ВФ ф(х) удовлетворяла теореме Блоха:
ф (х + та) - е,7гтоф (х).
Для этого должны выполняться равенства
An = Aeikna. (6.59)
Тогда из формулы (6.58) следует:
(6.60)
здесь введен новый индекс суммирования р = п - т.
Если период потенциала а больше характерной длины спада функции <p(x), то
