Квантовая механика (с задачами) - Елютин П.В.
Скачать (прямая ссылка):
Указание. Уравнения для параметров а, р удобно решать методом итераций,
приняв в качестве нулевого приближения для а значение, полученное в
задаче 6.9, а).
11. Используя неравенство (6.45) и пробную функцию (6.46), найти Е~ для
гармонического осциллятора.
12. Доказать неравенство
Е."Б-Ц=%..
Указание. Рассмотреть интеграл
/С=$ ф* ( Я - Е0) (Я - ?t) ф dx.
13. Используя вариационный метод, решить задачу 3.8.
14. Доказать, что с ростом I энергия наинизшего связанного состояния
частицы в центральном поле с моментом I возрастает.
15. Вычислить энергию основного состояния ангармонического осциллятора (е
1)
Я = у(р2+х2)+ех*.
используя пробную функцию 0 (х, а)=ё~***, с точностью до ё2. Сравнить с
результатом задачи 6.3.
130
16. Доказать следующую формулу:
?т = <фт | V | ф^'> - Vmm <1$' №>, используя для определения Е,п> теорию
возмущений Бриллюэна - Вигнера.
17. Найти поправки первого и второго порядков к энергии уровня в поле
U (х) = -17 6(х)
при наличии возмущения
Глава 7
КВАЗИКЛАССИЧЕСКОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ
0. Рассмотрим, метод отыскания приближенных СЗ и "СФ для одномерного
уравнения Шредингера, носящий
название квазиклассического приближения или метода ВКБ -по именам
Вентцеля, Крамерса и Бриллюэна. В этом приближении дискретный
энергетический спектр появляется как множество тех значений Еп, при
которых определенный функционал, зависящий от Е, принимает значения из
заданного набора (см. п.-1.0).
1. Рассмотрим одномерное УШ для стационарных состояний
получим для д(х) нелинейное уравнение Риккати
(7.1)
с потенциалом параметры
Вводя безразмерные
мы перепишем (7.1) в виде
(7.2)
где
r(x) = r]-f(x). Подставив в (7.2) решение вида
X
ф(*) = ехр ~ J q(x)dx ,
(7.3)
а
*6 g+/•(*)-"*=о.
(7.4)
132
Решение уравнения (7.4) мы будем искать в виде асимптотического ряда по
степеням |, полагая | малым:
?(*) = IK-(r)" ?"(*)• (7.5)
Подставляя (7.5) в (7.4), приходим к рекуррентным уравнениям
dQn-l
- ^ ЯмЯп-v (и>1).
dx
V = 0
С точностью до членов второго порядка по |
<7 (*) = q0- ilqx -1%. (7.6)
Здесь
/ \ 1 /-ГГ . V 2/я [Е-Я (х)]
,а(х)-±Уг(х>-+ утщг. •
Последняя формула есть классическое выражение для импульса частицы с
энергией Е в поле f/ (х) (в единицах У 2/пО'о) • Мы сохраним за этой
величиной название и обозначение импульса
<?o = P(*) = lAl-/(*)> (7.7)
так как в этой главе оператор импульса р не используется. Следующие члены
разложения (7.6) суть
*W=-^"-TS-talpWI. (78)
Разложение (7.5) представляет собой, вообще говоря, расходящийся ряд.
Первые члены его дают хорошее приближение для q (х), если
\Яо(х)\>1\Ях(х)\. (7.9)
Условие (7.9) заведомо не выполняется вблизи точек хк таких, что
<Уо(**) = ±рЫ = 0.
В классическом случае при действительных xk частица меняет направление
движения на противоположное. Точки хк мы будем называть точками
поворота. Функции,
133
полученные подстановкой (7.7) и (7.8) в (7.3):
(7№>'
мы будем называть ВКБ-решениями УШ; общее решение в области, где
выполняется условие (7.8), имеет вид
ф (х) = а+ф*'1 + а_ф/Г'. (7.11)
В дальнейшем безразмерную величину | мы будем включать в р(х). Индексы ф-
и - будем называть знаками %(*)• '
2. Рассмотрим случай дискретного спектра УШ. Нам требуется найти
решения ф (х) во всей области их определения и соответствующие
собственные значения энергии Еп. Поскольку решение' (7.10) заведомо не
существует в точках поворота, то задача отыскания решений сводится к
установлению формул связи - правил сопоставления
П
! Р=+\р\ Ф (*<*fe)"^ (*>**)•
1тх
" и Р--\р1 Хг Яех Рассмотрим решение (7.11)
в плоскости комплексного х-
Рис. 20. Рассмотрим движение в по-
ле с потенциалом U (х) с энергией Е такой, что импульс действителен между
двумя точками Xi и х2 (рис. 20). Значения х на действительной оси, при
которых импульс р(х) действителен, называются классически доступной
областью. Точки xlt х2 суть точки ветвления функции р(х); проводя между
точками поворота разрез, выберем знаки р на берегах разреза, как показано
на рис. 20. Вблизи точек поворота решёния неаналитичны; при обходе вокруг
точки хг- по контуру Сг
p(x)->-einp(x)i
- iJL - t- (7-12)
ФГ (х)2ф, (х), ф,(х).^е 2ФГ (х).
Неаналитичность ВКБ-решений в точках xk есть следствие выбранного
приближения. Из (7.11) и (7.12) видно,
134
что даже общее выражение (7.11) с постоянными коэффициентами ак не
является асимптотикой решения во всей плоскости комплексного х.
Для того чтобы решение вида (7.11) было асимптотически правильным во всей
плоскости х, коэффициенты а+, а_ должны меняться скачком при переходе
через линии Стокса (такое поведение коэффициентов называется явлением
Стокса). Линией Стокса решения называется контур на комплексной
плоскости, для точек которого
X
Re § р (х) dx = О
хн
и знак мнимой части совпадает со знаком г|з*. На линии Стокса для эта
функция экспоненциально мала. Скачок коэффициента при экспоненциально
малой функции не приведет к ухудшению точности асимптотики.
Мы потребуем, чтобы асимптотическое решение (7.11) было однозначно во
