Квантовая механика (с задачами) - Елютин П.В.
Скачать (прямая ссылка):
всей плоскости х. Будем искать формулы связи при переходе через линии
Стокса в виде
а+с++ аа_,
, . v (7.13)
Коэффициенты а, р называются параметрами Стокса. Направление линий Стокса
определится условиями:
arg
arg
- t \p(x)dx
xk
X
+ i $ p (x) dx
= 2 nn,
= 2яп.
(7.14)
(7.15)
Угол <p, определяющий направление линий Стокса, будем отсчитывать от
положительного направления оси х.
Найдем положение линий Стокса. Вблизи xk их можно считать прямыми
р(х)я^Л]/х - Xx^Vг е 2,
X 3 , Зф
^ р (х) dx г 2 е 2.
Используя условие (7.14), получим
Зф я п .. я
2 2 - 2лл, - 0 ,
фГ =
5я
ИГ'
135
Из условия (7.15) для линии [-] имеем
^ + у = 2 гаг; ф7 = п.
Мы выбираем решения, для которых ф е [0, 2я]. Аналогично, вблизи точки
х2, выбирая в интервале <р е U е[-я, гг], найдем
,, 2п +2 2п
"Й =-о-' ч>* = -т*
Рег-
Ф2 =0.
Направления линий Стокса показаны на рис. 21.
Параметры Стокса а, р, у для линий, выходящих из точки х%, найдем,
совершив обход вокруг этой точки. Используя формулы (7.13) и правило
перехода через разрез (7.12), получаем
я+Ф+ + "-Ф- = [а- + Р (а+ + а_)] ё~' 2 ф+ +
+ {а+ + аа_ + у [а. + р (а+ + аа_)]} е ' 2 ф_. Приравнивая коэффициенты
при ф+, ф_, находим
. Jt
а-Р-у-е 2.
Подчеркнем, что эти значения параметров Стокса относятся к случаю
простого нуля функции г(х).
Построим теперь общее решение. В области А физическое экспоненциально
убывающее решение дается функцией ф7. В области В решение определяется
переходом через линию [+ 1]* и может быть выражено как через ф±, так и
через ф±:
. Jt - I -
.Л '.Л
2 -lilt - tr- *(r)lhr -L P 2 -ikhpi'CD
Фв = ф1 +e 2 ф^е-'^ф-з-fe 2ф?е'
Здесь введено обозначение
со = § р (х) dx. х,
В области С решение также должно убывать экспоненциально. Используя
выражение фв через ф^ и совершая
136
переход через линию [+1Ь. в области С находим
/ . Jt , . . Jt . \
I - 1 "гч + Ш " 1 ^ ш\ . ,
фс = е-,и1|за + \е 2 +е 2 )¦<$.
Требуя обращения в нуль коэффициента при растущей функции фД
. Jt
e~tT(eia + e-ia) = 0, приходим к требованию
со = я(п+1/2). (7.16)
Действительное решение, экспоненциально убывающее в области А:
приводит в области В к решению вида ,
= j7nTjc0SU Р(х)йх~т]- (7Л7) '*1 '
Отметим, что все предыдущие рассуждения относились к случаю, когда
импульс действителен только между двумя точками поворота.
3. Полученное из формул связи соотношение (7.16) в обычных единицах
имеет вид
§ p(x)dx = nh(in+ I j. (7.18)
Xt
Это есть правило квантования Бора - Зоммерфельда, известное из старой
квантовой теории. Значения Еп, вычисленные с помощью этой формулы, мы
будем называть В К. Б-спектром.
В тех случаях, когда дискретный спектр гамильтониана удается определить
точно, между точными СЗ Е" и вычисленными методом ВКБ значениями Е'п
можно установить соотношение
д;г=дл[ц-о(^)]. (7.19)
Таким образом, значения ВКБ-спектра дают хорошее приближение для высоких
уровней.
137
\p(*)dx
Собственные значения уравнения (7.1) могут быть представлены в виде
?" = ?; +1% +о (g2). (7.20)
Выражение для ц" было найдено Масловым *. Если в окрестности минимума
потенциала U (х) величина /" (х) = = 0, то при малых п
Е'п = 0(|), и" = 0(1).
Таким образом, формула Бора - Зоммерфельда дает хорошее приближение и для
низколежащих уровней, если
12<1. (7.21)
Неравенство (7.21) является' условием квазиклассичности потенциала U (х)
в смысле близости точного и ВКБ-спект-ров при любых значениях п.
Приближение ВК.Б называется квазиклассическим потому, что при выполнении
условия (7.21) квантовый масштаб действия Н мал по сравнению с величиной
S = ~\zr2mU0a2, характеризующей потенциал. Заметим, что рассмотрение
четной потенциальной ямы в пределе, противоположном ква'зиклассическому
(?2^> 1), приводит к задаче о 6-яме, рассмотренной в главе 3.
Рассмотрим потенциальную яму U (х) такую, что i/(x)<0, Й+ = Н_ = 0. Тогда
с ростом энергии точки поворота будут удаляться на бесконечность. Номер
наивысшего связанного состояния N определится из условия
+ оо
J V\fW\dx-±. (7.22)
- СО
Эта формула дает оценку для числа связанных состояний. Отметим, что N
Неравенство Баргмана (5.50) можно
при 1 = 0 рассматривать как оценку для числа связанных состояний с четной
ВФ в четном потенциале U (х). Поскольку уровни различной четности
чередуются, то
N^2 + t-*\\f(x)\xdx. (7.23)
о
Это неравенство дает оценку N ^ ?-2; для квазикласси-ческого случая
(|2<^1) оценка (7.22) значительно лучше. Отметим, что интегралы в правых
частях (7.22) и (7.23) сходятся при одинаковых условиях: при х->оо = о(х-
2), при х->0 /(х) = о(х-1).
138
Величина в левой части равенства §pdx = 2 nh (ti+4")
(7.24)
определяет объем фазового пространства, охваченный классической
траекторией. Поэтому, основываясь на равенстве (7.24), говорят, что
одному связанному состоянию в фазовом пространстве соответствует объем
2лй на одну степень свободы.
4. Рассмотренные выше ВКБ-решения для дискретного спектра не были
нормированы. Рассмотрим нормированные ВКБ-функции для состояний
