Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Елютин П.В. -> "Квантовая механика (с задачами) " -> 32

Квантовая механика (с задачами) - Елютин П.В.

Елютин П.В. Квантовая механика (с задачами) — Наука, 1976. — 336 c.
Скачать (прямая ссылка): kvantovayamehanika1976.djvu
Предыдущая << 1 .. 26 27 28 29 30 31 < 32 > 33 34 35 36 37 38 .. 85 >> Следующая

с ростом \р\ значения hp и Sp быстро убывают. Это и соответствует
предположению о сильной связи. Учитывая, что S0=l, и пренебрегая Sp при
\р |Ssl и hp при |р|>1, мы получим выражение для энергетического спектра
Таким образом, в случае сильной связи энергетический уровень одиночной
ямы Е0 превращается в зону ширины 4/zi, расположенную в окрестности
уровня одиночной ямы.
15. В этом пункте мы рассмотрим задачу об одномерном движении частицы в
поле с периодическим потенциалом в случае слабой связи, когда в качестве
ВФ нулевого приближения можно использовать ВФ свободного движения.
Развитые в этой главе методы непригодны для определения СФ и СЗ
непрерывного спектра. Поэтому мы воспользуемся распространенным приемом,
позволяющим заменить непрерывный спектр дискретным. Потребуем, чтобы
исходная ВФ свободного движения удовлетворяла требованиям периодичности
и была нормирована на единицу в интервале O^x^Na. Тогда
Возможные значения k определяются из условия периодичности
Таким образом, возможные значения k дискретны, дискретным становится и
невозмущенный энергетический
Е (k) - Е0 + h0 + 2hi cos ka.
ф (x -f Na) = ф (x)
(6.61)
kn=mn (П = 0, ± 1, ±2, ...). (6.62)
127
спектр
ЕК = -(6.63)
Теперь для определения энергетического спектра в поле можно использовать
теорию возмущений. Это и соответствует предположению о слабой связи.
Учитывая поправки к энергии до второго порядка, получаем
1 С I V K?l ^l*)'2
Е" = Е'" + ж S e~ikn*v <*)e'v dx -
Li E0(k) - E0(q) '
t- Q
(6.64)
Поправка первого порядка ко всем уровням одинакова.
В пределе при N -*- со она не зависит от N и есть просто среднее значение
потенциала
-{-ОО
?"" = "7 = 1 J U(x)dx.
- оо
Выражение (6.64) применимо, если разности энергий в знаменателе
третьего члена не малы по рис 19 сравнению с соответствую-
щими матричными элементами в числителе. В силу периодичности потенциала V
(х) входящие в выражение для поправки второго порядка матричные элементы
(Я I VI k) = jj V (х) dx
отличны от нуля, только если
и
k - q = - п.
' а
Невозмущенный энергетический спектр двукратно вырожден по возможным
значениям k. Поэтому выражение (6.64) заведомо теряет применимость в
окрестности точек k = = я п/а. Возмущенное значение энергии в окрестности
этих точек можно определить с помощью теории возмущений для двукратно
вырожденного уровня. Пренебрегая
128
всеми матричными элементами, кроме {k - 2ntila\ V\k), при k, близком к
пп/а, получаем
Ет = J l(?ft + Eq) ± V(Ek-Egr + m4]. (6.65)
Дискретный спектр как функция п в невозмущенном и возмущенном случаях
изображен на рис. 19. При значениях kn = nn/a в дискретном спектре
(квазинепрерывном при больших N) возникает запрещенная зона ширины Д" =
2Vk qn. Отметим, что с возрастанием п размеры запрещенных зон убывают.
ЗАДАЧИ .
1. Вычислить, ограничиваясь первым порядком теории возмущений, спектр
s-состояний в экранированном кулоновском потенциале
при Я а0. Оценить максимальное п, при котором применима теория
возмущений.
2. Найти поправку первого порядка к энергии основного состояния атома
водорода с учетом конечности размеров ядра. Ядро полагать однородно
заряженным шаром радиуса R. Оценить границы применимости результата для
мезоатомов, в которых один из электронов заменен р-мезоном (m|t вв
'207me, R "= • 1,25- 10"i3 см, где А - число нуклонов).
3. Вычислить поправку первого порядка к уровням энергии гармонического
осциллятора (Й, т, со = 1) при наличии возмущения V = ех*.
4. Показать, что для частицы в s-состояниях в кулоновском поле
центробежный потенциал нельзя рассматривать как возмущение при
?л'<?"'•
Указание. В области выполнения неравенства сравнить результаты с
разложением точного решения.
5. Вычислить поправки первого и второго порядков к уровням энергии
гармонического осциллятора (Й, т, ш = 1) при наличии воз-
А
мущения V = гх2. Сравнить с разложением точного решения. Оценить радиус
сходимости ряда.
6. Найти поправку второго порядка к энергии основного состояния атома
водорода в однородном электрическом поле.
У казание. Решить уравнение для поправки первого порядка к волновой
функции фч*.
5 П. Б. Елютин, В. Д. Кривченков
129
7. Найти поправку первого порядка к СЗ эрмитовой матрицы Н0 при
наличии возмущения eV-
Я0 =
li О
о х.
Р Я
Я* т I
Сравнить с разложением точного решения.
В условиях задач 6.8-6.12 использованы следующие обозиаче-' ния: Е0, Ех-
энергии основного и первого возбужденного состояний, Щ' f*:-оценки сверху
и снизу, 6 (х, а) -пробная функция.
8. Используя 0 (х, а)=х dr1 (их), найти Ef для гармонического
осциллятора, положив Й, т, ?0=1. Проверить выполнение теоремы вириала.
9. Найти Е+ для гармонического осциллятора, используя
а) 6i (х, а)=е-"I*1;
б) 02 (х, а) = 1 - а | х | (| х | < а-1);
в) 63(х, а) = (1 + ах2) е~*г.
Указание. При вычислении Ё с пробными функциями 6i(х) и 6г (х) учесть
разрывность 0' (х) при х = 0.
10. Вычислить Е? для гармонического осциллятора, используя
0 (х, а, Р)=е-а|х| cosfx.
Предыдущая << 1 .. 26 27 28 29 30 31 < 32 > 33 34 35 36 37 38 .. 85 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed