Квантовая механика (с задачами) - Елютин П.В.
Скачать (прямая ссылка):
дискретного спектра с большими п. Так как вне классически доступной
области ВФ экспоненциально убывает, то основной вклад в нормировочный
интеграл будет вносить область между точками поворота. Можно потребовать,
чтобы
А2 ^ ФвФвdx- 1,
х.
где А - нормировочная постоянная, а определяется формулой (7.17):
Xi Г х
1 = р-1 (х) • cos2 ^ р (х) dx - ~
Xi L*,
dx.
При больших п можно заменить быстро осциллирующий квадрат косинуса его
средним значением. Таким образом, находим
Л* =
хг
Xi
dx
Рп
- 1
(7.25)
Вблизи точки поворота нормированная плотность вероятности в
квазиклассическом приближении имеет вид
W (х)
VE - U(x)
Г Xi 1-1
с
}Ve-u(x)\
Xi J
Определим теперь классическую функцию распределения вероятностей в
одномерном случае W (х) следующим образом: W (х) dx есть отношение
времени, в течение которого частица находится в интервале dx, к периоду
139
движения. Тогда W(x) =
VF.-Li (х)
dx
- 1
Xt
VE-U(X)
Таким образом, вблизи точек поворота в классически до-.
ступной области ВКБ-функ-ция распределения w(х) стремится к -классической
функции распределения W (х).
В рассматриваемом нами случае больших п существует связь между величиной
нормировочных постоянных Ап и видом энергетического спектра Е (п).
Дифференцируя выражение (7.18) по п, получаем
nh:
С dPn
J dn
dx--
f dpn dEn ,
J dEn dn aX-(7.26)
Так как по определению
р2 = 2т [Еп - U (а-)],
то
dEn
dp
Таким образом, равенство (7.26) принимает вид
х2
ъ dEn I* dx пп - т -г*- \ -. dn i р
(7.27)
Интегралы в правых частях (7.25) и (7.27) совпадают. Итак, находим
соотношение
AV
•2т dEn лН dn
(7.28)
5. Рассмотрим ВКБ-решения УШ для состояний непрерывного спектра. Пусть
частица находится в поле потенциального барьера U (х) с энергией, меньшей
максимального значения U (рис. 22). Такой случай соответствует задаче о
подбарьерном прохождении.
140
Пусть при х>х2 р(х) = \р(х)\. Тогда импульс р(х) можно представить в виде
Р (X) = С (X) У (Х - Хх) (х - х2).
Здесь С (х)- функция без нулей.
Найдем направления линий Стокса из точек лу и х2. У точки поворота хг
*1
Отсюда находим направления линий Стокса:
фГ=0, <p}2 = f, 97* = ^, ФГ2 = 2я.
У точки поворота х2 импульс р (х) можно представить в виде
_
р (х) С2у х - х2 C2V г е 2.
Направления линий Стокса в точке х2:
Фа 1 = з > Фа? = - Я, ФГ'= --J,. ФГ5 = Я.
Направления линий Стокса показаны на рис. 22.
При решении одномерного УШ для состояний непрерывного спектра мы
отыскивали решения, асимптотиками которых при x-v±oo являлись ВФ
свободного движения - одномерные волны е'кх. ВКБ-решения аналогичны ВФ
свободного движения на сопряженных линиях Стокса - линиях, на которых
X
lm$p(x)dx = 0. (7.29)
xk
В нашем случае сопряженные линии Стокса совпадают с лучами вдоль
действительной оси х>х2 и х<,хх.
Направление потока вероятности на сопряженных линиях Стокса определяется
правилом Хединга'. Если решения ф?, ф* убывают в верхней полуплоскости,
то на сопряженных линиях Стокса они описывают поток вправо. Так, при х>х,
волне, распространяющейся вправо, соответствует ф2: в области С,
ограниченной осью х и линией
141
Стокса [+"]. решение ф^ убывает (по определению решение ф?
экспоненциально мало на линии [+1]).
Установим формулы связи между ВКБ-решениями в областях Л и С:
^B=^2=^iexp\i \ p(x)dx
L xt J
фл = е*фГ+e 2 +*^-Так как в области A p(x)=etnIpWI, то решения,
представляющие в этой области простые волны, даются формулами
- i - - i -
Фи = е 2 ф!\ = е 2 ФГ-
Используя эти выражения, находим формулу связи
ф+ + Г''^ф|ч-е-*ф?- (7'30)
Физическая интерпретация формулы связи (7.30) очевидна. В области С
существует только поток вправо (распространение частицы, прошедшей за
барьер). В области А существуют потоки вправо и влево, соответствующие
падающей и отраженной частице. По определению, данному в п. 3.3, находим
ВКБ-выражение для коэффициента прохождения:
D (Е)
[х,
-ii
*1
У 2m(E-U(x))
dx
(7.31)
6. Рассмотрим ВКБ-решение в непрерывном спектре при Е> U0. В этом
случае на действительной оси точки поворота отсутствуют. Мы ограничимся
рассмотрением простейшего случая, когда уравнение
Р(х) - 0
имеет два комплексно-сопряженных корня (рис. 23): x1 = a + i'P, х2 = а -
г'Р.
Точки Хи хг мы будем назьшать комплексными точками поворота. Проводя
между точками поворота разрез и полагая
. Я
х = а + Ц, dx = e 2 dl,
142
запишем выражение для импульса вблизи точек поворота: р (х) = А (х) фДх-
лу) (x - Xtj, (7.32)
где А (л:) - действительная функция без нулей. Положим р (z) = | р (г) |
на правом берегу разреза; угол ф будем отсчитывать от положительного
направления мнимой оси. Тогда вблизи хг
С-РНС-Р|е*.
х - Х!=е 2 (? - Р).
Учитывая (7.32), можно записать
р(х)^А1УУ +
\р{х) dxp
Д- "я+э|-
Отсюда - направление линий Стокса у точки хх будет:
+1 ^ ФГ = - о-,
Фf' =я, ф,1 =-
-Л, ф! "
п
у-
У точки х2 аналогично находим
2 п
Фа2 =2л, фа1 =0, ф22 =^.
фа з I -га - *-v" fa - fa - 3
Сопряженные линии Стокса выходят из точки лу под углами
