Квантовая механика (с задачами) - Елютин П.В.
Скачать (прямая ссылка):
плоские волны
/ (г) =e?qr,
1 [ . (9.14)
g( г) = е-'чг.
Подставляя в (9.13) выражение для ФГ в форме G (г, г') = § Л (q) е'ч(|-
r,) dq,
получим
§ А (q) (k2 - q2) е1'ч(г-г') dq-6 (г -г').
Это равенство выполняется тождественно, если A (q) = (2я) ~3 {k2-q2)-\
Производя в выражении
I Г piq(r -г')
G ^Г' г ) = (2^Р J (/г2 - a-) dq
интегрирование по угловым переменным, получим
1 ^0° пАч 1Г-Г'1
0 "¦ г) - - "yfrFT \ Т!=?- ^ <9-15>
- СО
Формула (9.15) не определяет ФГ однозначно. Отличный от нуля вклад дают
только вычеты в полюсах подынтегрального выражения q - ±k. Направление
обхода полюсов
169
выбирается с помощью граничных условий. Решение.(9.12) будет содержать
расходящуюся волну, если обходить
полюсы, как показано на рис. 31. Соответствующая ФГ обозначается G+ (г,
г'):
t А | г - г' I
СЧг'г') = -4^Т73^- (9-16)
Формально правило обхода можно задать, положив k = k-\-iz и устремив в к
нулю после вычисления интеграла.
Итак, интегральное уравнение для. ВФ рассеяния имеет вид
ф (k, г) = ф (k, г) -~ J j-_~, U (г') ф (к, г') dr'. Используя
асимптотический вид ФГ (9.16):
С+(г' "-7-Л.
получим асимптотическое выражение для т)? (^, г): ф(А>, г)ъ ф(Л, r)-~~ J
е-^и г) dr, (9.17)
представляющее суперпозицию плоской и расходящейся волн в соответствии с
условием (9.5).
3. При нахождении явного вида ФГ (9.15) мы использовали в качестве
базиса СФ импульса (9.14), что вовсе не обязательно. ВФ рассеяния может
быть представлена согласно (9.12) в виде
Фо - Ф + Go (Е -Г te) t/ф, (9.18)
где С0 - ФГ однородного УШ -есть
Go (Е -f- te) = (? -f- te - //о)-1*
Формальное решение УШ (9.18) фактически определяется интегральным
уравнением. Выбрав в качестве базиса произвольную систему СФ
гамильтониана Й0 {tpa}, можно представить (9.18) в виде
, С <фр I Г | ф">
Ф"-ф"+]ф gga-?-+terfP, где интегрирование проводится по всем возможным р.
170
Решение (9.18) можно выразить непосредственно через функции базиса фп.
Введем ФГ неоднородного УШ (9.1):
С(?) = (Е-НУ1.
Тогда
G(E) = G0(E) + Gb(E)UG(E). (9.19)
Решение (9.18) принимает вид
ф = ф -f- G (Е -f te) t/ф.
Уравнение (9.19) допускает формально решение методом итераций
С = G0 + G0UG" + G0UGMo + • • • (9.20)
4. Если потенциал взаимодействия U (г) в некотором
смысле мал, то в разложении (9.20) можно ограничиться
нулевым приближением,-положив С = Со. Тогда из (9.19) следует:
f(°)^-2SP§ *Р* ' г>U f r) dr~
Выбирая в качестве ф (k, г) плоские волны, получим
/(e) = -2^$e'4rf;(r)rfr' (9-21)
где q есть изменение импульса при рассеянии: q = k -к', | q \
= 2k sin у.
Разложение (9.20), использующее в качестве базиса систему СФ импульса,
называется борновским разложением, а решение (9.19), использующее N
членов разложения,- N-м борновским приближением. Решение при N=1 мы будем
называть просто борновским приближением. В случае центрального поля
интегрирование по углам приводит к выражению
СО
fW = -2^\r^U{r)dr. (9.22)
о
Введем безразмерный параметр
x = ka,
где а -характерная длина потенциала. Для медленных частиц (т < 1) (9.22)
принимает вид
СО
m = -g$r4/(r)dr. (9-23)
о
Таким образом, амплитуда рассеяния медленных частиц не зависит ни от
энергии, ни от направления. Для быстрых частиц (т 1) заметный вклад в
интеграл дает только
область малых значений углов (0 <1 т'1) - окрестность главного максимума
функции
sin аг ¦ , \
-~=h(qr)t
где /о (х) -сферическая функция Бесселя. Быстрые частицы рассеиваются
преимущественно вперед.
Необходимым условием применимости борновского приближения является
малость интегрального члена - поправки к ВФ
фЧ>(?, г) = 2я^ ^ ~~т~ U (г rf) (j/, (г г') dr' (9.24)
по сравнению с невозмущенной ВФ ф0 (к, г). Для медлен-
ных частиц можно оценить интеграл в (9.24), положив е'кг> ^ 1, тогда
Ф(1) (k, /-)~~й2Д0фП''),
и условие применимости борновского приближения есть Г2<1 (^<1).
(9.25)
Для быстрых частиц вклад в интеграл (9.24) дает не область Дб /-> 1, как
в случае рассеяния медленных частиц (изотропного), а область Лб^т-1.
Поэтому
Ф(1) (к, г)~~а*ио~ <$", и борцовское приближение применимо при условии
|-2<1/т (т>1). (9.26)
Таким образом, ограничение на величину ?2, характеризующую потенциал,
гораздо слабее для быстрых частиц. Достаточным условием применимости
борновского приближения является сходимость ряда (9.20).
172
Существенным недостатком борновского приближения является
действительность амплитуды /(6), несовместимая с оптической теоремой
(9.11). Иными словами, в борновском приближении область, в которой
потенциал U (г) заметным образом отличен от нуля, действует как источник
частиц.
5. Рассмотрим приближенный метод для вычисления амплитуды рассеяния
частиц высокой энергии
При этом условии потенциал U (г) можно рассматривать как возмущение.
Представим ВФ в виде
где Ф (г) -амплитуда, медленно меняющаяся вдоль оси г (dO/dz-^k).
Подставляя (9.28) в УШ и сохраняя только главные члены, получим уравнение
первого порядка
Решение (9.29), имеющее асимптотикой при2-> -со плоскую волну, есть
