Квантовая механика (с задачами) - Елютин П.В.
Скачать (прямая ссылка):
Используя формулу (9.17), амплитуду рассеяния представим в виде
Так как рассеяние быстрых частиц происходит преимущественно на малые
углы, то вектор переданного импульса можно считать перпендикулярным к
импульсу падающей частицы:
- ik'r + ikz = iq^p + i (kz cos 6 - kz)^ / qp.
Здесь p означает вектор в плоскости ху. Итак,
E>U о.
(9.27)
ф (k, г) = е'*гФ (г),
(9.28)
(9.29)
Z
ф(&, r) = expi kz-EE и (Г) dz . (9.30)
-оо
г
-оо
-j-OO |- Z
/ (е) = - 24Р § Фе'"ч° \ dzU (г) ехр -щ § и (г) dz .
-ОО L -со
-ОО
-со
Интегрирование по г приводит к выражению
/ (6) = - g J е<чо (еш № - 1) dp, (9.31)
173
где
+0°
) U^dz-
-со
В центральном поле фаза 6 зависит лишь от величины, но не'от направления
вектора р. Введем в плоскости ху полярные координаты р, ф. Тогда,
учитывая соотношение
2Л
§ е'^сскф с1ц< = 2зт/0 (х), о
мы можем произвести в формуле (9.31) интегрирование по ф. Окончательное
выражение имеет вид
ОО
f(Q) = - ik ^ р/0 ^2ftpsin (e2.-6((J) - ijdp. (9.32)
Выражение (9.32) называется приближением Мольера* для
амплитуды рассеяния. Условие применимости метода в безразмерных
переменных имеет вид
т> 1, | 2<т 2. (9.33)
Из сравнения с (9.26) видно, что для описания рассеяния быстрых частиц
приближение Мольера имеет область применимости большую, чем приближение
Борна. Области применимости приближений Борна и Мольера ограничены на
рис. 32 снизу кривыми В и М соответственно. Борновскому приближению
соответствует случай, когда показатель экспоненты в (9.31) мал:
1.
Заменяя экспоненту единицей, возвращаемся к (9.21).
6. В предыдущем изложении основную роль играли базисные СФ импульса -
плоские волны. Другой часто используемый базис -общие СФ операторов р2,
/2, 1г - сферические волны. Радиальное УШ для свободной частицы с
моментом I имеет вид
[г2 аг) - = 0. (9.34)
174
Рис. 32.
В качестве независимой пары решений (9.34) можно выбрать сферические
функции Бесселя jt (kr) и Неймана щ (кг)
Ш = j/'i Jl+y (*). п,(г) = Yi N,+ -У
2 2
или же сферические функции Ханкеля 1-го и 2-го рода hf (z) =
ji(z)±inl(z).
При 2^>1, г>/ справедливы асимптотические формулы
. ( 1я\ ( 1п\
s,n z COS 12 J
= - -- nz(z)F"--(9.35)
Асимптотики ВФ непрерывного спектра частицы с моментом I в центральном
поле 7/ (г) также можно представить в виде, аналогичном (9.35).
Рассмотрим ВКБ-решения: они заведомо дают хорошее приближение на больших
расстояниях от точки поворота. Напомним, что вещественная точка поворота
существует в любом потенциале U (г) таком, что при г 0 ~u(r)<L (2г)-2.
ВКБ-решение, согласно (7.45), есть
Г
7 sin
\Y*-?-u{r)dr+T
(9.36)
Выберем некоторое гх так, что
k2>^>+u(r1). r 1
Тогда при г>г1 подынтегральное выражение можно представить в виде
]/V- ~+u(r)Yk~^
(г) V
2к ЧкГ-
н асимптотика функции (9.36) может быть представлена в виде
Выделение в аргументе (9.37) слагаемого - 1л/2 связано с тем, что при I 1
при вычислении первого интеграла в (9.38) можно пренебречь и (г) по
сравнению с AV'2, тогда значение первообразной на нижнем пределе равно
лл/2 и от интеграла остается только некоторая ограниченная функция
гг. В частности, при "(/•) = 0 б, = 0
в согласии с (9.35). Необходимым условием конечности
фазы 61 является достаточно быстрое убывание потенциала: и (г) - о (г-1)
при /•-> оо. Для кулоновского потенциала U(r) = ar1 второй интеграл в
(9.38) расходится логарифмически:
6г ~ а (п г. (9.39)
7. Граничное условие для ВФ рассеяния не обладает центральной
симметрией, так как содержит СФ импульса - плоскую волну. Разложим
плоскую волну в направлении оси г по полной системе СФ момента:
ОО
eikz = ? it (21 + 1) Р, (cos 6) /, (kr). (9.40)
/=о
Заметим, что из-за аксиальной симметрии в разложение (9.40) вошли только
сферические гармоники с т - 0
Pi (cos fl) = |/"-j- Yh (6).
Общий вид аксиально-симметричного решения УШ при больших г, с учетом
(9.37), есть
ОО
Ф/ (г) ^^(2l+l)A,P, (cos 0) ~ sin (kr - 4- 8; \ ^
1=0
1 = 0
Асимтотический вид (9.40), согласно (9.35), есть
eikz = ^ i' (21 -f 1) Pt (cos 6) ~ \e 1 (kr 2 )_(Д*''-тУ] ¦ 1=0
Потребуем, чтобы разность
pi кг
•ф - е'кг -
176
содержала только члены, соответствующие расходящейся волне. Для этого
должно быть
At = i'ei6'.
Таким образом, асимптотическое выражение для ВФ рассеяния можно
представить в виде
ОО
2Vl+l)P'(cosB)[(-iye "r-S,e'''r], (9.41)
г=о
где введено обозначение
S, = e2(e'. (9.42)
Коэффициент при расходящейся волне в разности ф - еш есть введенная нами
ранее амплитуда рассеяния
СО
2 (2/+l)(S| -1)Р/(cos0). (9.43)
/ = о
Это выражение называется формулой Факсена - Хольт-смарка.
Дифференциальное сечение рассеяния имеет вид о (6) = 2л [ f (0) |2 = ~ ^
(2/l + 1) (2^ + 1) X
X Рц (cos 6) Pi, (cos 6) I Stt - 111 Si, - 11. (9.44) Интегрируя (9.44)
по углу 0 с учетом равенства
JT
Pk (cos 6) Pt (cos 6) sin 0 dB = -~J 6W,
0
получим выражение для полного эффективного сечения рассеяния:
ОО
a = f 2>+Dsin26'- (9,45)
/ = 0
Таким образом, полное сечение рассеяния (в отличие от дифференциального
