Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Елютин П.В. -> "Квантовая механика (с задачами) " -> 46

Квантовая механика (с задачами) - Елютин П.В.

Елютин П.В. Квантовая механика (с задачами) — Наука, 1976. — 336 c.
Скачать (прямая ссылка): kvantovayamehanika1976.djvu
Предыдущая << 1 .. 40 41 42 43 44 45 < 46 > 47 48 49 50 51 52 .. 85 >> Следующая

о
со
- JK (kr') § г'Hi' (kr') и (г') фГ (kr') dr'. (9.67)
Г
12. Рассмотрим асимптотику волновой функции ф/ (kr). При больших г
Используя асимптотическое выражение для функции Хан-
келя
Я
А . . . Jt
2 '"-'2 4
получаем ф/ (kr)?**
i Асимптотическое при больших г выражение для ВФ рас-; сеяния через
парциальные волны имеет вид
я е,кг
ф (к, г) Ъ еftr _ "1- 2 (2/ + 1) Р, (пп') х
"со
§ rJh (kr) и (г) ф/+ (kr) dr
X
о
[Определяя парциальные амплитуды рассеяния соотноше-[ нием
/ (nn') = х 2(2/ + h № Pl (пп,)'
получаем выражение для парциальных амплитуд
со
fi (k) = - J jj rJK (kr) и (г) Фt (kr) dr. (9.68)
Рассмотрим асимптотическое поведение функций ф| (kr) при малых г:
ф? (kr)^Jh (kr)
- ~ ^ гЩ' (kr) и (г) ф; (kr) dr
. (9.69)
[Пусть ср/ (kr) есть функция, удовлетворяющая интегральному уравнению
Г
_ у. ~ . :i I / . -г..
\<Pi(
i (kr)=j-, (kn - Ц w: (kr) J m: (kn и <я> Фг (*я> r- df +
о
г
+ (tm) Я?:1 (ftr) J Як'1 (*Я) и (Я) ф. (/гг') г' с/г'. (9.70)
187
Функция фI (kr) действительна и удовлетворяет тому же дифференциальному
уравнению
что и решение i];j (kr). При малых г
/
ф t(kr)^iJ%(kr).
Таким образом, функция фt(kr) представляет регулярное в нуле
действительное решение радиального уравнения Шредингера. Функция ф| (kr)
также регулярна1 в нуле, поэтому эти два решения должны быть
пропорциональны:
qt(kr) = c,((i(kr).
Подставляя это равенство в (9.69), находим
1
Cl =
+ ~ ^ гЩ (kr) и (г) фг (kr) dr
Выражение для парциальной амплитуды рассеяния через действительное
регулярное решение УШ имеет вид
СО
) rJ-, (kr) и (г) фI (kr) dr
Л--у------------Ъ- :---------------------------• (9-71)
1 + i -j Ц rH./ • (kr) и (г) фi (kr) dr
Элемент S-матрицы связан с амплитудой соотношениями
1
21
ft = USi-1). (9.72)
Таким образом,
ОО
I - г 2 ^ ГН?' (кг) фг (kr) и (г) dr
s, (k) =---------1-----------------------. (9.73)
g ^ гН?~ (kr) фг (kr) и (г) dr
о
13. Пусть ?2 =- к2 есть значение энергии, соответствующее связанному
состоянию. Тогда при k - ±ix регулярное действительное решение УШ должно
убывать при г-у оо. Согласно (9.70) асимптотический вид такого
188
решения есть
со
ф, (kr) J; (kr) - f т' (kr) 5 Ш' (kr') и (г') ф, (*r') г' dr' +
СО
+ 7 яг - (fer) § Як1' (fer') ы (г') ф, (Arr') г' dr'. (9.74)
Учитывая соотношение
J;.(kr)^ l m'(kr) + H}2: (kr)],
перепишем формулу (9.70) в виде
H-?'(kr)_________
1 1 2
о
фi(kr)-.
СО
¦ i у ^ НТ (kr) и (г) ф, (kr) г dr] +
НЦкг)
со
1 + i у § Ях1' (fcr) и (г) ф, (fcr) г dr
(9.75)
При k - + ix (х > 0) функция Яи) экспоненциально убывает, а Я(2)
экспоненциально растет. Требуя обращения в нуль коэффициента при
экспоненциально растущей функции, приходим к условию
со
1 -Ь i y Я>! (fcr) и (г) ф, (fcr) г dr = 0. (9.76)
Im/r
о - нуль • - полюс
Re к
Из сравнения (9.76) с (9.73) видно, что в точке fc= + ix ¦ функция St (k)
имеет полюс. В точке k - - ix функция S, (k) имеет нуль, что доказывается
аналогично.
Итак, связанному состоянию с энергией -х2 соответствует нуль матрицы
рассеяния S, (k)
. на нижней мнимой полуоси и полюс на верхней мнимой полуоси (рис. 35).
Обратное справедливо не всегда.
14. Значения волнового числа k, соответствующие рассеянию, лежат иа
действительной оси. Поэтому наличие по-. люса St (k) будет заметно влиять
на парциальную ампли-
о
о
Рис. 35.
189
туду, лишь если полюс близок к действительной оси. Соответствующие
связанным состояниям полюсы будут поэтому проявляться главным образом в
рассеянии медленных частиц (т < 1), когда основную роль играет s-
рассеяние. В окрестности полюса
С ^ ^
сечение рассеяния имеет вид
о0 = ?|1-МЛ)|" = ^. ' (9.77)
Вводя энергию связи е = - h2vr (2m)1, получим формулу Вигнера
0 т ? +1 е | ' (9'7 )
Таким образом, если в потенциале и (г) существует связанное состояние с
энергией связи, малой по сравнению с ив, то сечение рассеяния медленных
частиц сильно зависит от энергии. В борновском приближении сечение
рассеяния медленных частиц равно
ав^1Ла2.
Формула Вигнера дает при ?->0 значение
(9.79)
Из этого выражения видно, что при типичных для меж-нуклонных
взаимодействий значениях ?2 ~ 1 вигнеровское сечение значительно больше
борцовского.
Заметим, что в формуле (9.77) знак х не играет роли. Поэтому к
возрастанию сечения рассеяния медленных частиц приведет как полюс S0(k)
на положительной мнимой полуоси, соответствующий связанному состоянию,
так и полюс на отрицательной мнимой полуоси. Состояния, которым
соответствуют такие полюсы, называются виртуальными. Из (9.75) следует,
что ВФ виртуального состояния экспоненциально растет при больших г.
Из (9.75) следует также, что полюсу виртуального состояния на
отрицательной мнимой полуоси соответствует симметричный нуль на
положительной мнимой полуоси. В потенциале притяжения -уи(г)<с 0 с
уменьшением у полюсы на мнимой оси, соответствующие связанным состояниям,
приближаются к действительной оси, а полюсы
190
ft's
виртуальных состояний удаляются от нее, как показано на рис. 36.
Предыдущая << 1 .. 40 41 42 43 44 45 < 46 > 47 48 49 50 51 52 .. 85 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed