Квантовая механика (с задачами) - Елютин П.В.
Скачать (прямая ссылка):
яр = 0е'ф, яр* = 0е-,'ф.
Тогда
бяр = е'фб0-Н бф 6 е'ф,
• . . (6.37)
бяр* = е~'фбО - i бф 0 е-,ф.
Из (6.36) получаем, учитывая эрмитовость Я: 5 бяр* (Яяр) dq + ^ бф (Яяр)
* dq = 0.
Подставляя (6.37), используя условие нормировки и вводя
множитель Лагранжа Я, получаем
5 60 (е^ф Я0е'ф + е'фЯ0е-'ф - 2Я0) dq +
-f ^ i бф 0 (е'фЯ0е ,ф - е'фЯ0е;ф) = 0. (6.38)
Используя независимость вариаций амплитуды и фазы, получим, приравняв
нулю второй интеграл в (6.38):
е'фЯ0е~'ф = е'фЯ6е'ф. (6.39)
Подставляя (6.39) в первый интеграл, получим
Яяр = Яяр
- стационарное УШ, где множитель Лагранжа Я = ? есть собственное значение
Я. Доказательство завершено.
9. Разложим произвольную квадратично интегрируемую функцию по СФ Я:
яр = 2аЛ- (6-40)
к
119
Тогда среднее значение энергии, вычисленное с функцией ¦ф, равно
<ф|Я|ф} = ?Д*Ыа-
k
Пусть Д0 - энергия основного состояния, тогда
До=ёД[Ф] (6-41)
и
<ф1Я|ф>"о2;ы2, (6.42)
k
где
?[Ф] = КФ|Ф"-1 -<ф|#|ф). (6.43)
Таким образом, ВФ основного состояния реализует минимум средней энергии;
остальные экстремумы соответствуют возбужденным состояниям.
Выражение (6.42) дает оценку сверху для энергии основного состояния. Для
получения оценки снизу рассмотрим интеграл
/ = <ф|(Я-Д)2|ф>, (6.44)
где ф - произвольная нормированная функция. Используя разложение (6.40),
получим
/ = 2>* 1|2(Д*-?)2 =
k
= (?0 - Д)2 + 21 ak |2 [{Ek - ?)2 - (Д0 - ЕП
k
Если пробная функция выбрана так, что Е ближе к Д0, чем к энергии любого
другого состояния, то
/^(Д0-Д)2.
Поэтому, учитывая, что по определению
/=Д2_Д2,
получаем неравенство
До^Д-Кд^-Д2. (6.45)
10. Практически неравенство (6.42) используется для определения энергии
основного и первого возбужденных состояний. Выбирается пробная функция 6
(х, а,-) где at - набор параметров, вычисляется Е (аг) и отыскиваются
120
значения параметров, минимизирующие Е, что приводит к уравнениям
?-о.
оа,-
Такой метод называется прямым вариационным методом Ршпца. В качестве
простого примера рассмотрим вычисление энергии основного состояния
гармонического осциллятора (ft, т, со - 1)
я=4(р2+*2)-
Среднее значение энергии
+ СО
Jj [х262 (х) - 6 (х) 6" (*)] dx
+5, •
^ 62 (х) dx
-со
Выбирая пробную функцию в виде
6(х, a)=ch1(a, х), (6.46)
получим
?<"Нн(ё+24
Это выражение достигает минимума при а2 =* л/2; соответствующее значение
Е (а) = л/6 - 0,523 мало отличается от точного значения: ?=1,05 До-
Другие примеры приведены в задачах к этой главе.
При вычислении вариационным методом энергии возбужденных состояний
следует учесть требование ортогональности
$Gfe(x, a)6m(x, a)dx - 0, 0 (6.47)
Иногда выполнение этого требования облегчается свойствами симметрии:
например, основное состояние частицы в поле U(x) = U(-х) описывается
четной функцией, поэтому при нечетной 0Х (х, а) требование (6.47)
выполняется автоматически.
ВФ основного состояния при х-"-±оо убывает (по модулю) не медленнее
экспоненты; поэтому можно использовать (при большом числе связанных
состояний в поле) в качестве ВФ первых возбужденных состояний систему
полиномов, ортогональных с весом б/Дх). Коэффициенты полиномов будут
однозначно определяться требованием
121
ортонормированности; поэтому точность результатов будет ухудшаться с
ростом п.
Если ?<"> - значение энергии, вычисленное с помощью пробной функции ф (х,
а), а пробная функция Ф (лг; а, Р) такова, что при некоторых значениях р0
Ф(а, р0; лг) = ф (а; л:),
то за счет расширения класса конкурирующих функций всегда будет
выполняться неравенство
?<"• Э> ==? ?<">
0 О
Отметим, что отличие нормированной пробной функции от точной (квадрат
нормы их разности в L2) того же порядка, что и относительная точность СЗ,
полученного вариационным методом.
11. Воспользовавшись прямым вариационным методом, найдем условия
существования связанного состояния при одномерном движении в поле с
четным потенциалом U (х). Ограничения для этого потенциала будут получены
ниже. Используем пробную функцию
0(х, Р) = 1-РИ (Р>0, \х\^),
В(х, р) = 0 (|х|>р-!).
Тогда вариационный функционал (6.43) можно представить в виде
р-i
2р + 2 \ U (х) (1 - р*)2 dx . (6.48)
Е( Р) = |-Р
Если при х->-0 U(x) = o(x1), то при р->оо первый член в скобке
неограниченно возрастает, а второй стремится к нулю. Поэтому при
достаточно больших р Е (Р) ^ бр2 > 0. Выражение (6.48) можно переписать в
виде
Е (р) = | р {2р + 2Мо - 4рМх + 2р2Л42 - f (Р)}, где интегралы
00
м* = $ U (х) хк dx о
предполагаются сходящимися. Тогда
оо
Нш/(Р)=Нш \ U (х) (1 - f>x)2dx = 0.
?->0 р-1
122
Так как в точке Р = 0 ?(р) = 0, ?'(P) = 3M0, то при М0 < 0 в некоторой
окрестности точки р = О Е (Р) < 0. Из непрерывности Е (Р) и ранее
доказанной положительности Е (Р) при больших р следует существование рг
таких, что
?(Р<) = 0. (6.49)
Пусть Pi - наименьший положительный корень (6.49); между двумя нулями Р =
0, P = pi функция Е (Р) отрицательна, а ее производная имеет по меньшей
мере один нуль, соответствующий минимуму. Таким образом, верхняя граница
