Квантовая механика (с задачами) - Елютин П.В.
Скачать (прямая ссылка):
вырождению собственных значений гамильтониана Н частицы в кулонов-ском
поле. Непосредственно из формулы (5.18) видно, что состояние с главным
квантовым числом п вырождено по значениям I с кратностью g - n. Такое
вырождение, связанное с наличием дополнительного интеграла движения
(5.23), специфично для кулоновского поля и называется случайным.
Как и во всяком центральном поле, состояния с заданными значениями п и I
вырождены по величине проекции момента с кратностью 2/+1. Таким образом,
полная кратность вырождения состояния с главным квантовым
95
числом п есть
G = n^(2Z + l)
1=0
7. Состояния атома водорода с квантовыми числамщ п, I, т мы будем
обозначать векторами j п I т}, указывая^ значения квантовых чисел всегда
в таком порядке. Радиаль-.| ные ВФ определяются формулами (5.10) и (5.17)
и зависят, в силу центральной симметрии, только от п и /:
Rm (Р) = А п1р'е- п.'2 L2"'+/ (р), (5.26)
где А "/ - нормировочные множители, a Li!ti (р) - поли-
номы Лагерра, которые с точностью до постоянного 'множителя определяются
первыми членами разложения (5.17)..' Приведем выражения для простейших
случаев:
(Is): LJ=1, (2s): Ц= 1 -?
2
(2р): Ц=1, (3s): Ц = 1 -¦~г + ~г\
Так как. угловые части ВФ, определяющиеся СФ операторов I2 и 1г, мы
выбрали нормированными, то радиальные ВФ следует нормировать условием
\Rh{r)r2dr= 1. (5.27)
о
Нормированные радиальные функции имеют вид
2 г\
г, м_________2 ЛГ (Я-/-1)1 ~ ТГ / 2г у , 21 + i / 2г \
Rnl(r)- п2 у [(П+/)1]3 е [ п ) Ln + l ^ п J.
Приведем явный1 вид полных ВФ состояний Is, 2s, 2р с различными прое-
кциями орбитального момента:
1, 0, 0) = -^е~
I' JX
|2, 1, ± l)^,i |/
3 ^1-e~r'2 sin 6 ¦e±i4).
16л \ 2
"6
8. При рассмотрении задачи двух тел в п. 5.0 мы нашли, что система
описывается ВФ вида
? <г1' г*) = Y *(Гх "Гг)- (5-28)
Если между частицами существует взаимодействие, то гр (Гх - г2) не есть
ВФ свободного движения. В этом случае ? (rlt г2) нельзя представить в
риде произведения ВФ частиц ф1 (гх) ф2 (г3): переменные, которые
разделяются в УШ, не есть координаты частиц. При наличии взаимодействия
между частицами волновой функцией описывается лишь система в целом, но не
каждая из частиц. В соответствии с основным положением А2 это означает,
что теряет смысл понятие состояния отдельной частицы.
Для каждой подсистемы можно ввести некоторый оператор, который позволяет
вычислить все величины, относящиеся к этой подсистеме. Ограничимся
случаем, когда подсистема есть отдельная частица. Пусть Д есть оператор,
действующий на координаты частицы 1. Тогда его среднее значение можно
представить в виде
Л = И (гь я) № (г1. q) dr! dq, (5.29)
где q обозначает все, кроме Гх, аргументы ?. Интегральный оператор с
ядром
Р(гь гх) = $?*(?, гО ?("?, г) dq
называется матрицей плотности частицы 1. Из сравнения с (5.29) получаем
выражение для среднего значения оператора Д:
h = Sp Д р.
Очевидно, матрица плотности есть эрмитов оператор
p*(r, г') = р(г', г).
Диагональные элементы матрицы плотности
Р (г, г) = $1Ф(ф. Г)|2dq
определяют распределение вероятности координат частицы. Из условия
нормировки следует, что Spp=l.
9. Матрица плотности зависит от состояния системы в целом. Так, для
системы двух тел в состоянии с импульсом
4 П. Б. Елютин, В. Д. Кривченков 97
центра масс Р
р(Г;, Г1)= § е*р[* ?;:^1 к - r*:wri -^
В состоянии с центром масс, локализованным в начале координат,
р и, го - г [г; (1 + 2)} уЬ (1 + Ш' (s5sr ¦
В атоме водорода масса электрона т1 много меньше массы протона щ. Поэтому
в состоянии с центром масс в начале координат матрица плотности для
электрона
Р<1ь П^ф* (гОФОч) мало отличается от матрицы плотности электрона в поле
неподвижного кулоновского центра. Поэтому ВФ if (г) УШ для атома водорода
иногда называют волновой функцией электрона, что следует понимать с
учетом сделанных выше оговорок.
Состояния частицы, которые описываются ВФ (т. е. состояния в смысле
основного положения А2), называются чистыми состояниями в отличие от
смешанных состояний, для которых матрица плотности не распадается на
произведения множителей ф (г) ф' (г'). В атоме водорода протон и электрон
находятся в смешанных состояниях.
Возможна и другая интерпретация: вместо смешанных состояний протона и
электрона мы можем рассматривать систему двух невзаимодействующих
квазичастиц: тяжелой, с массой М, совершающей свободное движение, и
легкой с массой т я" те, находящейся в кулоновском поле фиксированного
центра. Введенные таким образом квазичастицы находятся в чистых
состояниях.
10. Рассмотрим движение частицы в поле трехмерного осциллятора
Такой потенциал может быть использован для описания некоторых свойств
атомных ядер. В декартовых координатах решение УШ можно искать в виде ф
(г) = фх (х) ф2 {у) ф3 (г).
Каждая из функций ф,- удовлетворяет одномерному УШ для гармонического
осциллятора с энергетическим спектром ?i = ("i+ 1/2) ft о.
98
Полная энергия равна сумме Et согласно п. 3.0:
Е = ("1 + Щ, + "з + 3/2) Йсо.
