Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Елютин П.В. -> "Квантовая механика (с задачами) " -> 22

Квантовая механика (с задачами) - Елютин П.В.

Елютин П.В. Квантовая механика (с задачами) — Наука, 1976. — 336 c.
Скачать (прямая ссылка): kvantovayamehanika1976.djvu
Предыдущая << 1 .. 16 17 18 19 20 21 < 22 > 23 24 25 26 27 28 .. 85 >> Следующая

/Д = 1, /а = /.
15. Найти нормированные СФ операторов полного спина S2 и S-системы трех
частиц со спнном 1/2. Отметим отличие от случая, рассмотренного в п.
4.12: величина полного спина не определяет однозначно спиновых ВФ.
16. Доказать равенство
-ti.,-0* ?L,.G f f .
е Де Л = cos 6 + Ly sm 6.
17. Показать, что операторы /+, /_ можно представить в виде
/_ = 1 2j-cra a, 'j+ - a+\'r2j - a+a,
где а1, о -операторы Бозе. Найти вид /- в этом представлении
(/1 2/).
Глава 5
ЦЕНТРАЛЬНОЕ ПОЛЕ
0. Если взаимодействие двух частиц можно описать потенциалом ?У (( гх
- г2|), зависящим только от расстояния между частицами, то задача о
движении таких частиц в квантовой механике, как и в классической,
сводится к задаче о движении частицы в центрально-симметричном поле.
Лагранжиан системы двух частиц в классической механике имеет вид
+"*_"¦( |Г1_Г2|).
Введем вектор взаимного расстояния
Г = Г1-г2
и вектор центра инерции
д = 1щг,+т2т2 m1-J- /?г2
Тогда
^ = ^-R2 + |-r 2-U(r),
где
М-тг-\-та, т - ---¦-.
J mi + m2
Вводя импульсы с помощью соотношений
p = -^- = MR, р = = mr,
PR dr
получим классическую функцию Гамильтона
н=& + ш+иС).
Оператор Гамильтона для квантовомеханической задачи получим, заменив Р и
р операторами с коммутационными
88
соотношениями
\РЬ Р k\ " \Pii fk\ ~ ift&iki
Н = -Ш^~^^ + и(г).
Волновую функцию системы можно представить в виде Ф(гъ г,) = ф(К)ф(г),
(5.1)
где ср (R) описывает движение центра инерции (свободное движение частицы
массы М), а ф (г) - движение частицы массы т в поле U (г). В дальнейшем
мы ограничимся рассмотрением ВФ движения в центральном поле.
1. Уравнение Шредингера для стационарных состояний в центрально-
симметричном поле
Лф + -|Ч/:-?/(л)]ф = 0
в сферических координатах имеет вид 1 д / 2 "5ф \ . II 1 д ( . D дф \ .
1 ' .
+ "§г [Е - U (г)] ф = 0. (5.2)
Используя выражение (4.23) для оператора I2., получим
^[--h'dT(г21г) +*]+t/(r)^=?*•
Операторы Г2 и L коммутируют с гамильтонианом Н (г), поэтому существуют
общие СФ операторов Н, I2 и 1~. Мы будем рассматривать именно такие
решения УШ. Это
требование определяет зависимость ф от углов:
ф(г, 0, <р) = R (г) Y,m (0, ф), где Ylm(6, ф) определяется (4.28). Так
как PYlm = l(l+l)Ylm, то для радиальной части ВФ R (г) получаем уравнение
^-^(r2^)-tJL^-R+^[E-U(R)]R = 0. <5'3)
Это уравнение не содержит значения /г = т: при заданном I уровень энергии
Е соответствует 21 -j-1 состояниям, различающимся значениями 1г. Это
вырождение является
следствием правила: энергетические уровни вырождены при наличии у системы
двух сохраняющихся некоммутирующих операторов. Для движения в центральном
поле такими операторами являются любые два из трех сохраняющихся
операторов компонент момента lx, ly, lz.
Для состояний с различными значениями орбитального момента приняты
обозначения:
/ = 0 1 2 3 4 (5.4)
s р d f g
Число / - максимальное значение проекции момента -
называют азимутальный, а т -проекцию момента - магнитным квантовыми
числами.
2. Приведем эквивалентные формы дифференциального оператора в
уравнении (5.3):
1 d ( , dR\ d*R 2 dR 1 d* , p,
r2 dr \ dr J dr2 ' r dr r dr2 '
Последнее выражение позволяет придать уравнению (5.3)
вид одномерного УШ (3.2); полагая
X (r) = rR(r),
получим
% - 11PL Х + %-1Е-и(г)] X = 0. (5.5)
Однако, в отличие от случая движения на неограниченной прямой, для
уравнения (5.5) необходимо задать граничное условие при /- = 0.
Рассмотрим вид ВФ при г->0 для слабо сингулярных потенциалов:
lim U {г)г2 = 0.
г -О
Тргда в (5.5) при малых г наиболее существенны первые два члена.
Подставляя получаем
v (v - 1) = / (/ +1).
Это уравнение имеет корни
Vi = /+1, v2 = - /. (5.6)
Требование нормированное(tm) ВФ несовместимо со значением v == -1 при 1Ф- 0,
так как будут расходиться"
90
нормировочные интегралы
11 %п (г) | dr о
для дискретного спектра и не будет выполняться условие (1.17) для
непрерывного спектра. При 1 = 0 граничные условия определяются из
требования конечности среднего значения кинетической энергии, которое
выполняется лишь при v= 1. Итак, ВФ частицы в слабо сингулярном
потенциале всюду конечна и при любых I
Х(0) = 0. (5.7)
3. Решение задачи о движении частицы в центральном поле U (г) сводится
к отысканию решений одномерного УШ с эффективным потенциалом
V,(r)=U(r)+S%±"
и граничным условием (5.7). Второй член в (5.5) называют центробежным
потенциалом. В этой главе мы будем рассматривать только состояния
дискретного спектра.
В главе 3 мы видели, что для УШ на неограниченной прямой с потенциалом U
(х), удовлетворяющим условиям
M<U(x)< О, Н+ = Н_ = 0, (5.8)
всегда существует по крайней мере одно связанное состояние. Для уравнения
(5.5) даже в случае 1 = 0 это не так. Пусть
M<U(r)< 0, ?/+ = liml/(r) = 0. (5.9)
г-> СО
Рассмотрим одномерное УШ с потенциалом IJ (| х |) = U (г). В поле с
четным потенциалом ВФ либо четны, либо нечетны: ВФ основного состояния
фДх) не обращается в нуль в силу осцилляционной теоремы, и поэтому
Предыдущая << 1 .. 16 17 18 19 20 21 < 22 > 23 24 25 26 27 28 .. 85 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed