Квантовая механика (с задачами) - Елютин П.В.
Скачать (прямая ссылка):
(4.26)
По определению
1Ли = о.
Используя (4.23), подстановкой
*- = ¦+^6" Го
получаем уравнение
^ = +tg8-(c)//.
Отсюда
(c)// = Asin/8.
Определяя постоянную А из условий нормировки, получаем
<4-27>
Формулы (4.24), (4.26) и (4.27) полностью определяют вид собственных
функций оператора Ь - сферических функций
г""-те'"ч-1)" 'У{г'ч^РТ (cos в)> (4-28)
где РТ (cos 6) - присоединенные полиномы Лежандра:
Р? (cos 6) = щ sin'" 6 {d-^~)m+1 (cos2 6 - 1 у.
75
Мы будем использовать также обозначение П/" (cos 6) для нормированных
присоединенных полиномов Лежандра:
П? (cos 6) = У Р? (cos в).
А /
8, Оператор инверсии Р, введенный в п. 1.2 для одномерного случая, меняет
знак всех координат:
Р<?(х, У г г) = ср(-*, - у, -г).
При инверсии правая и левая системы координат переходят друг в друга.
Определенный таким образом операУ тор Р эрмитов и унитарен. В силу
равенства
Р2 = /
СЗ оператора инверсии равны dt 1. СФ оператора Р называются четными при Р
= 1 ц нечетными при Р = - 1. В нерелятивистской квантовой механике
гамильтониан замкнутой системы при дискретном унитарном преобразовании
инверсии остается инвариантным:
РНР = Р ЛЙР = Й.
Поэтому гамильтониан коммутирует с оператором инверсии. Следовательно,
четность состояния является интегралом движения.
Оператор инверсии Р коммутирует и с каждой компонентой оператора
орбитального момента
[А Ы=о.
Следовательно,
[Д У=0.
Пусть г}: - общая СФ операторов Р, Р и Тогда из последнего равенства
вытекает, что четности состояний, отличающихся только значением проекцйи
орбитального момента, совпадают.
Определим четность состояния одной, частицы с моментом /:
А|>(г, б, ф) = яр(/-•, я-е, я+ф).
Зависимость ВФ от углов определяется СФ момента (4.28): ip = (cos 6)
Pip = FT (- cos б) е1тЯе1тч = (-l)'-m ?Т (cos б) (-1)'" eim'K 76
Таким образом, четность состояния частицы
Р = (-1)г (4.29)
совпадает с четностью значения ее орбитального момента.
9. Некоторые частицы, кроме орбитального момента, обладают собственным
моментом - спином s, не связанным с движением в пространстве.
Коммутационные соотношения, выведенные из рассмотрения бесконечно малых
поворотов системы координат, справедливы и для векторного оператора спина
[sb s,| = iEijksk. (4.30)
Сохраняются для спина и все формулы, полученные
в пп. 4.4, 4.5: для их вывода использовались только ком-
мутационные соотношения.
Спектр проекций спина есть последовательность целых или полуцелых чисел,
отличающихся на единицу. Собственные значения квадрата спина суть
s2ij)s = s(s + l)%.
При заданном s компонента ,sz может принимать 2s +1 значений от -s до -
fs.
ВФ частицы со. спином зависит не только от непрерывных переменных г (или
р), но и от дискретной спиновой переменной' о, указывающей значение
проекции спина на выбранную ось г. ВФ частицы со спином Ф' (г, а) можно
разложить по СФ с заданной величиной проекции спина:
V (г, ст)= 2 Ыг)х(°)-
О = - S
Спиновые ВФ х(°Л ортогональны при о,- ^ ак. Функции Фа (г) х (а) называют
компонентами ВФ частицы со спином, функцию фст(г) называют орбитальной ВФ
или просто орбиталью. ВФ частицы нормирована условием
Е I 'Фа (Г) ||=1-
сг=-¦ S
10. Коммутационные соотношения (4.30) позволяют определить явный вид
операторов спина- матриц, действующих в пространстве СФ оператора
проекции спина.
77
Многие элементарные частицы (в том числе электроны и нуклоны) обладают
спином 1/2. Проекция s может принимать лишь значения +1/2 и -1/2 (в
единицах /г). Матрицы операторов sx, sy, sz в пространстве собственных
функций s2, s* имеют вид
(4.31)
(4.32)
1 0 1 Л 1 0 - 1 Л . 1 1 0
1 0 . Sy = ~2 i 0 SZ- 2 0 -1
1 О О 1
Матрицы о{ - 2s{ называют матрицами Паули. Их свойства рассматривались в
задачах к главе 1. В частности,
Of = /, 0,(7* :
С*СГ,.
(4.33)
Пусть сферически-симметричные ВФ частицы + = = ф (г, +1/2) и ф2 = Ф +> -
1/2) различаются лишь значениями проекций спина. Значения вероятностей
проекций спина определяются квадратами норм этих функций Цфх.аЦ2.
Очевидно,
lhhlP+l№f=i.
Так как собственными функциями sz являются двухкомпонентные величины
Xi =
то ВФ частицы со спином 1/2 можно представить в виде
1 0
0 , Хг - 1
T'=+lXl++'X2 =
%
В дальнейшем мы не будем рассматривать зависимость + от координат и
заменим фх и ф2 числами.
Рассмотрим преобразование компонент ВФ частицы при переходе к повернутой
системе координат. Пусть + есть ВФ системы в некоторой декартовой системе
Б. Найдем вероятности значений проекции спина на некоторое направление в
пространстве, которое примем за ось г' в системе Б'.
Мы имеем два различных подхода к решению этой задачи. Во-первых, можно
предположить, что компоненты спиновой функции + не меняются при переходе
от Б к Б', а оператор s меняется как вектор. В этом случае для того,
чтобы определить вероятности значений проек-
78
ции спина на ось г' в системе 2', надо найти нормированные СФ оператора
sz и разложить Чг по этим СФ. Квадраты модулей коэффициентов в разложении
и дадут искомые вероятности. Найдем унитарный оператор ы+(ф) для поворота
